[論文レビュー] Higher Operads, Higher Categories

Tom Leinster|ArXiv.org|May 2, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、モノイドとその代数的構造を通じて代数的構造を理解するための枠組みとして、高階のオペラッドと高階の圏を導入する。随伴関手（例えば、集合とモノイド、集合とR加群の間の随伴）が、標準的な代数的対象を回復するモノイドを誘導することを示し、モノイド性を通じて代数的理論の圏論的基盤を提供する。

ABSTRACT

Higher-dimensional category theory is the study of n-categories, operads, braided monoidal categories, and other such exotic structures. It draws its inspiration from areas as diverse as topology, quantum algebra, mathematical physics, logic, and theoretical computer science. This is the first book on the subject and lays its foundations. Many examples are given throughout. There is also an introductory chapter motivating the subject for topologists.

研究の動機と目的

• 随伴関手とモノイドの関係を高階的圏論的構造において形式化すること。
• 自由・忘却随伴から生じるモノイドが、モノイド、群、R加群といった代数的理論を符号化することを確立すること。
• T代数を定義し、その特徴づけを行い、代数的理論の圏論的意味論を提供すること。
• 集合の範囲を超えて、位相空間などの他の圏へモノイド構成を一般化し、位相群のような構造を扱うこと。
• モノイドが代数的演算とその整合性条件をどのように捉えるかを示すことで、高階のオペラッドの圏論的土台を築くこと。

提案手法

• 圏AとBの間の随伴F ⊣ Gからモノイド(T, μ, η)を構成し、T = G ∘ Fとする。
• 単位ηを随伴の単位と定義し、乗法μをGεFとする。ここでεは余単位である。
• 自由モノイド随伴に対して、TAはAの要素の有限列の集合であり、μは入れ子になった列を連結することで作用する。
• R加群に対しては、TAをAの要素の形式的R線形結合の集合と定義し、μは入れ子の結合を一つの結合にまとめる。
• T代数を、モノイド公理を満たす射h: TA → Aを備えた対象Aとして特徴づけ、標準的な代数的構造を回復する。
• 群、リー代数などの他の代数的理論およびSet以外の圏（例：位相空間の圏Top）への一般化を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圏間の随伴関手が、代数的構造を符号化するモノイドをどのように誘導できるか。
• RQ2 モノイドの代数的構造が、モノイドやR加群といったよく知られた代数的対象に正確に対応するための条件は何か。
• RQ3 モノイドが、さまざまな圏における代数的理論を統一的に扱う枠組みとして果たす役割は何か。
• RQ4 モノイド構成がSetからTopや代数の圏などの他の圏へどのように拡張できるか。
• RQ5 随伴によって誘導されるモノイドにおける単位と乗法の圏論的意義は何か。

主な発見

• 集合とモノイドの間の自由・忘却随伴によって誘導されるモノイドは、TA = ∐n∈N An であり、Aの要素の有限列の集合である。
• 乗法μは二重列を単一の列に連結することで作用し、明示的に ((a₁¹,…,a₁ᵏ¹),…,(aₙ¹,…,aₙᵏⁿ)) ↦ (a₁¹,…,a₁ᵏ¹,…,aₙ¹,…,aₙᵏⁿ) と定義される。
• 単位ηはAの要素a ∈ Aを単一の列(a)に写し、AをTAに埋め込む。
• R加群に対しては、TAがAの要素の形式的R線形結合の集合であり、μは入れ子の線形結合を一つの結合にまとめる。
• R加群のモノイドTに対するT代数は、スカラー乗法と加法の公理を満たす構造写像hによって、R加群と同値である。
• この構成は、群、リー代数、ブール代数を含むすべての代数的理論に一般化され、TAは理論の演算に関するAにおける形式的語の集合となる。