[論文レビュー] Higher Orbit Integrals, Cyclic Cocyles, and K-theory of Reduced Group C*-algebra

Yanli Song, Xiang Tang|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、連結な実再編性群 G のハリシ・チャンドラ・スワーツ代数上での高次循環コサイクルとしての高次軌道積分を導入し、等階数および非等階数の場合を統一する K-理論ペアリングへの一般化を図る。テンパード双対におけるフーリエ変換を用いて、これらのコサイクルと G の縮小群 C*-代数の K-理論とのペアリングについて明示的な公式を導出し、G-不変ディラック作用素に対する新たな不変量を明らかにするとともに、ハリシ・チャンドラのプランシュレ理論を拡張する。

ABSTRACT

Let G be a connected real reductive group. Orbit integrals define traces on the group algebra of G. We introduce a construction of higher orbit integrals in the direction of higher cyclic cocycles on the Harish-Chandra Schwartz algebra of G. We analyze these higher orbit integrals via Fourier transform by expressing them as integrals on the tempered dual of G. We obtain explicit formulas for the pairing between the higher orbit integrals and the K-theory of the reduced group C*-algebra, and discuss their applications to representation theory and K-theory.

研究の動機と目的

• 連結な実再編性群 G のハリシ・チャンドラ・スワーツ代数上での古典的軌道積分を、高次循環コサイクルへ一般化すること。
• アイワサ分解と関数 H(g) = (H₁(g), ..., Hₙ(g)) を用いて、高次軌道積分を明示的に構成すること。この関数は G を最大アーベル部分群 A のリー代数へ写像する。
• G のテンパード双対におけるフーリエ変換を用いて、これらの高次積分をユニタリ特徴方程式およびテンパード表現の積分として表現すること。
• 高次軌道積分と縮小群 C*-代数 C*r(G) の K₀ とのペアリングを計算すること、特に等階数および非等階数の場合を含む。
• 等階数および非等階数群の取り扱いを統一することで、G-不変ディラック作用素に対する新たな数値的不変量を提供すること。

提案手法

• G×KN×M/ZM(x) 上での積分として定義される高次軌道積分 ΦP,x(f₀,…,fn) を、アイワサ成分の H-関数の積と畳み込みスワーツ関数を含む形で定式化する。
• G = KMAN というアイワサ分解を用いて、H(g) を A 成分の対数的成分として表現し、アーベルの場合における x の役割を一般化する。
• 畳み込み代数を点乗法代数に変換するためのフーリエ変換を適用し、コサイクルを双対空間上での ∫ f₀ d f₁ に類似した形に変換する。
• ホッチシュルト＝コスタント＝ローゼンバーグ定理およびテンパード表現の性質を用いて、得られた汎関数が循環コサイクル条件を満たすことを証明する。
• キャラクターとプランシュレ測度を用いて、高次軌道積分と K₀(C*r(G)) のペアリングをテンパード双対上の積分として表現する。
• 離散系列、離散系列の極限、およびテンパード主系列表現を用いて、正則および特異な場合のペアリングの明示的公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的軌道積分は、再編性群 G のハリシ・チャンドラ・スワーツ代数上での高次次数の循環コサイクルとしてどのように一般化可能か？
• RQ2 アイワサ分解と H-関数は、高次順序の循環コサイクルを構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 テンパード双対におけるフーリエ変換は、高次軌道積分をテンパード表現のキャラクターに関連付ける仕組みは何か？
• RQ4 高次軌道積分と縮小 C*-代数 C*r(G) の K-理論とのペアリングの明示的公式は何か？
• RQ5 これらの高次積分は、K-理論ペアリングにおける等階数と非等階数群の二分法的対立をどのように解消するか？

主な発見

• 高次軌道積分 ΦP,x は、ハリシ・チャンドラ・スワーツ代数 S(G) 上で定義された適切な循環コサイクルを定める。これは古典的軌道積分を一般化する。
• アーベル群 ℝ に対して、1次元の循環コサイクル φ(f₀,f₁) = ∫ℝ x f₀(−x)f₁(x) dx は、フーリエ変換のもとで ∫f̂₀ d f̂₁ に対応し、一般的手法を示している。
• 高次軌道積分 ΦP,x のフーリエ変換は、誘導表現のキャラクターとプランシュレ測度を含むテンパード双対上の積分として表現される。
• 等階数の場合、Fᴴ と K₀(S(G)) のペアリングは、最大コンパクト部分群 K の表現環へ同型を誘導する。
• 非等階数の場合、古典的軌道積分は K-理論上で消えるが、高次コサイクルは非自明な不変量を提供する。
• 軌道積分の明示的公式 (D.2) には、正則な離散系列、特異な離散系列の極限、および高次テンパード表現からの寄与が含まれ、符号およびキャラクターを含む係数が関与する。