[論文レビュー] Higher order degree in simplicial complexes, multi combinatorial Laplacian and applications of TDA to complex networks

Daniel Hernández Serrano, Darío Sánchez Gómez|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単体複体内の単体に対して、より高次の隣接次数（下位、上位、一般化）を導入し、エージェントおよびコミュニティの次元間比較を可能にする。多パラメータ境界作用素および余境界作用素を提案するとともに、古典的作用素を一般化する新規な多組み合わせラプラシアンを構築し、より高次の次数を効果的に計算する。このアプローチにより、位相的データ解析を用いた複雑ネットワークにおけるマルチエージェント協調行動の計算的に実行可能なフレームワークが提供される。

ABSTRACT

Many real networks in social, biological or computer sciences have an inherent structure of a simplicial complex, which reflects the multi interactions among agents (and groups of agents) and constitutes the basics of Topological Data Analysis. Normally, the relevance of an agent in a network of graphs is given in terms of the number of edges incident to it, its degree, and in a simplicial network there are already notions of adjacency and degree for simplices that, as far as we know, are not valid for comparing simplices in different dimensions. We propose new notions of higher order lower, upper and generalised adjacency degrees for simplices in a simplicial complex, allowing any dimensional comparison among them and their faces. New multi parameter boundary and coboundary operators in an oriented simplicial complex are also given and a novel multi combinatorial Laplacian is defined. These operators generalise the known ones and are proved to be an effective tool for calculating the higher order degrees here presented. Thus, this mathematical framework allows us to elucidate the relevance not only of an agent, but of a bunch of them as a simplicial community, and also to study the degree of collaboration between different communities in a simplicial complex. In addition, they are effective and programmable computational techniques. Some potential applications to simplicial Network Science are also proposed.

研究の動機と目的

• 単体複体における単体の重要性の次元間比較手法の欠如に応えること。
• 異なる単体次元にわたる適用可能な新しい隣接および次数の概念を定義すること。
• 向き付けられた単体複体における多パラメータ境界作用素および余境界作用素を開発すること。
• 古典的ラプラシアンを一般化する新規な多組み合わせラプラシアンを構築すること。
• 複雑ネットワークにおけるコミュニティの重要性とコミュニティ間協調行動の計算的分析を可能にすること。

提案手法

• 単体に対してより高次の下位、上位、一般化された隣接次数を提案し、次元を超えた比較を可能にする。
• 向き付けられた単体複体における多パラメータ境界作用素および余境界作用素を導入する。
• 標準的な組み合わせラプラシアンを一般化する多組み合わせラプラシアンを定義する。
• 新規ラプラシアンを用いてより高次の次数を効率的に計算する。
• フレームワークを用いて個々のエージェントおよび単体的コミュニティの重要性を分析する。
• フレームワークが実世界のネットワーク応用に向け計算的に効果的かつプログラミング可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体複体において、異なる次元に属する単体の重要性をどのように意味的に比較できるか？
• RQ2 多パラメータ境界作用素および余境界作用素は、より高次のネットワーク解析において果たす役割は何か？
• RQ3 提案された多組み合わせラプラシアンは、古典的ラプラシアンに比べて、より高次の相互作用をどのように改善して捉えているか？
• RQ4 このフレームワークは、単体的コミュニティ間の協調行動をどのように定量的に行えるか？
• RQ5 このフレームワークを実際の複雑ネットワークに適用する際の計算的および実用的意味は何か？

主な発見

• 提案されたより高次の次数は、単体の次元にかかわらず直接的な比較を可能にし、従来の次数概念の制限を克服する。
• 多パラメータ境界作用素および余境界作用素は、古典的作用素を一般化し、新規ラプラシアン構造と整合性を持つ。
• 多組み合わせラプラシアンは、より高次の次数を効果的に計算でき、位相的ネットワーク解析における実用性を裏付ける。
• フレームワークは、関連するエージェントおよび単体的コミュニティの同定を支援し、グループ間の協調構造を含む。
• この手法は計算的に効果的かつプログラミング可能であり、ネットワーク科学における実用的応用を可能にする。
• このアプローチは、位相的データ解析を用いた複雑ネットワークにおけるマルチエージェント相互作用を研究するための堅実な数学的基盤を提供する。