[論文レビュー] Higher order energy conservation and global wellposedness of solutions for Gross-Pitaevskii hierarchies

Thomas Chen, Nataša Pavlović|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$d$次元におけるGross-Pitaevskii (GP)階層に対して高次のエネルギー汎関数を導入し、エネルギー下臨界および$L^2$下臨界な収束型と発散型の場合にその保存則を証明する。これらの汎関数と密度行列に対する一般化されたSobolev-Gagliardo-Nirenberg不等式を活用することで、Klainerman-Machedon や Erd\'os-Schlein-Yau が研究した空間において、正定値半定値解のための事前$H^1$バインディングを確立し、グローバルな適切性を証明する。

ABSTRACT

We consider the cubic and quintic Gross-Pitaevskii (GP) hierarchies in $d$ dimensions, for focusing and defocusing interactions. We introduce new higher order energy functionals and prove that they are conserved for solutions of energy subcritical defocusing, and $L^2$ subcritical (de)focusing GP hierarchies, in spaces also used by Erdös, Schlein and Yau in \cite{esy1,esy2}. By use of this tool, we prove a priori $H^1$ bounds for positive semidefinite solutions in those spaces. Moreover, we obtain global well-posedness results for positive semidefinite solutions in the spaces studied in the works of Klainerman and Machedon, \cite{klma}, and in \cite{chpa2}. As part of our analysis, we prove generalizations of Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities for density matrices.

研究の動機と目的

• エネルギーおよび$L^2$下臨界な条件下で、$d$次元におけるGross-Pitaevskii階層のグローバルな適切性を確立すること。
• 正定値半定値解のための高次エネルギー汎関数を導入し、その保存則を証明すること。
• 新しいエネルギー汎関数と密度行列に関する一般化されたSobolev型不等式を用いて、事前$H^1$バインディングを導出すること。
• 下臨界領域における収束型と発散型の相互作用を含めた適切性枠組みを拡張すること。
• SobolevおよびGagliardo-Nirenberg不等式をGP階層の文脈における密度行列の設定に一般化すること。

提案手法

• $m$粒子の準拡散密度行列を含む高次エネルギー汎関数$\langle \mathcal{K}^{(m)} \rangle_\Gamma$を定義する。
• エネルギー下臨界および$L^2$下臨界領域における解に対して、これらの汎関数の保存則を証明する。
• 保存則を用いて、$m$に関して指数的減衰を示す重み付きノルム$\|\Gamma\|_{\mathfrak{H}_\xi^1}$を介した事前$H^1$バインディングを導出する。
• 局所解をグローバルに拡張するため、前人研究の定理（例：定理7.1）を用いたブートストラップおよび反復的構成法を適用する。
• 非線形項の制御を可能にするために、密度行列に対する一般化されたSobolevおよびGagliardo-Nirenberg不等式を確立する。
• 高次エネルギーの保存により、正則性の伝播が可能となり、指定された関数空間内での一意性およびグローバル存在性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d$次元におけるGross-Pitaevskii階層に対して、高次エネルギー汎関数を構成し、その保存則を証明できるか？
• RQ2 これらの汎関数の保存則が、正定値半定値解のための事前$H^1$バインディングを導くか？
• RQ3 エネルギーおよび$L^2$下臨界領域における収束型と発散型の両方のGP階層に対して、グローバルな適切性を確立できるか？
• RQ4 SobolevおよびGagliardo-Nirenberg不等式を、GP階層における密度行列の文脈に一般化できるか？
• RQ5 重み付きノルム$\|\Gamma\|_{\mathfrak{H}_\xi^1}$は、時間経過に伴う解の成長を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• エネルギー下臨界および$L^2$下臨界領域において、すべての$m \in \mathbb{N}$に対して高次エネルギー汎関数$\langle \mathcal{K}^{(m)} \rangle_\Gamma$が保存される。
• 不等式$\|\Gamma(t)\|_{\mathfrak{H}_\xi^1} \leq \sum_{m \in \mathbb{N}} (2\xi)^m \langle \mathcal{K}^{(m)} \rangle_{\Gamma(t)} \leq \|\Gamma(0)\|_{\mathfrak{H}_{\xi'}^1}$を用いて、$t \in \mathbb{R}$における事前$H^1$バインディングが確立される。
• KlainermanとMachedonが研究した空間およびErd\'os-Schlein-Yauの枠組みにおいて、正定値半定値解のグローバルな適切性が証明される。
• 高次エネルギーの保存により、ブートストラップを用いた反復的拡張により局所解がグローバル解に拡張可能である。
• 密度行列に対する一般化されたSobolevおよびGagliardo-Nirenberg不等式が導出され、階層内の非線形項の制御が可能になる。
• $p < \frac{4}{d-2}$（エネルギー下臨界）および$\mu = +1$（発散型）の場合、または$p < \frac{4}{d}$（$L^2$下臨界）および$\mu < 0$（収束型）で$|\mu|$が小さい場合、提示された条件下でグローバル存在が成立する。