[論文レビュー] Higher-order finite elements on pyramids

Nilima Nigam, Joel Phillips|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2006

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限体積外微分計算における必須な「可換図式性質」を満たす高次有限要素のピラミッド要素への構築を提示する。ピラミッドの幾何的分解と、辺、面、体積の自由度を持つ階層的基底を活用することで、混合有限要素法における最適近似性と適合性が保証される。

ABSTRACT

Abstract. We present a construction of high order finite elements on a pyramid, with the goal of building approximation subspaces which satisfy the commuting diagram property. 1.

研究の動機と目的

• 有限体積外微分計算における可換図式性質を保つピラミッド要素上の高次有限要素の構築を目的とする。
• 四面体／六面体ハイブリッドメッシュで一般的に用いられるピラミッド要素上での適合有限要素空間の構築という課題に取り組む。
• 特にH(curl)およびH(div)空間を含む問題に対して、最適近似性と混合定式化との適合性を保証する。
• 任意の多項式次数をサポートし、アフィン変換に対して不変である自由度の体系的構成を提供する。

提案手法

• ピラミッドを頂点、辺、面、体積の成分に幾何的に分解し、自由度を定義する。
• 参照ピラミッド上での直交多項式を用いた階層的基底を構築し、最適近似性と良好な条件数を確保する。
• 自由度は、要素界面における接線成分および法線成分の連続性を強制するように定義され、H(curl)およびH(div)適合性に不可欠である。
• 有限要素空間が外微分と可換になるように構築され、可換図式性質を満たす。
• 理論的分析と数値例を通じて、本手法の有効性が検証され、最適収束率が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、有限体積外微分計算における可換図式性質を保つピラミッド要素上の高次有限要素を構築できるか？
• RQ2 どの自由度の選択が、ピラミッド要素上での混合有限要素法との最適近似性と適合性を保証するか？
• RQ3 自由度をどのように定義すれば、アフィン変換に対して不変であり、任意の多項式次数をサポートできるか？
• RQ4 H(curl)およびH(div)空間における適合性を保証するピラミッド上での有限要素空間の構造はどのようなものか？

主な発見

• 提案されたピラミッド上での有限要素空間は、可換図式性質を満たし、混合有限要素定式化における適合性を保証する。
• 自由度は、要素界面における接線成分および法線成分の連続性を強制するように構築されており、H(curl)およびH(div)における適合近似を可能にする。
• 数値実験では最適収束率が達成され、理論的近似性質が裏付けられた。
• ピラミッド上での直交多項式に基づく階層的基底は、良好な条件数と効率的なアセンブリを実現する。