[論文レビュー] Higher Order Kernel Mean Embeddings to Capture Filtrations of Stochastic Processes

Cristopher Salvi, Maud Lemercier+4 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Sep 8, 2021

Statistical Methods and Inference参考文献 56被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、確率過程におけるフィルトレーション依存情報——時間発展する情報の流れをエンコードする——を捉えるために、標準的なKMEを一般化した高階カーネル平均埋め込み（KME）を導入する。高階最大平均差分（MMD）を構築することで、フィルトレーションに敏感な2標本検定、確率過程のためのユニバーサルカーネル、および軌道データからの因果発見アルゴリズムを可能にし、理論的整合性と金融市場・力学系における実証的妥当性を示している。

ABSTRACT

Stochastic processes are random variables with values in some space of paths. However, reducing a stochastic process to a path-valued random variable ignores its filtration, i.e. the flow of information carried by the process through time. By conditioning the process on its filtration, we introduce a family of higher order kernel mean embeddings (KMEs) that generalizes the notion of KME and captures additional information related to the filtration. We derive empirical estimators for the associated higher order maximum mean discrepancies (MMDs) and prove consistency. We then construct a filtration-sensitive kernel two-sample test able to pick up information that gets missed by the standard MMD test. In addition, leveraging our higher order MMDs we construct a family of universal kernels on stochastic processes that allows to solve real-world calibration and optimal stopping problems in quantitative finance (such as the pricing of American options) via classical kernel-based regression methods. Finally, adapting existing tests for conditional independence to the case of stochastic processes, we design a causal-discovery algorithm to recover the causal graph of structural dependencies among interacting bodies solely from observations of their multidimensional trajectories.

研究の動機と目的

• 確率過程における情報の時間的流れ（フィルトレーション）を捉える点で、標準的カーネル平均埋め込みの限界を解決すること。
• フィルトレーションに条件づけられた高階KMEの理論的枠組みを構築し、進化する情報構造をエンコードすること。
• 高階MMDの経験的推定器を構築し、統計的検定における一貫性を証明すること。
• アメリカン・オプション価格設定などの実世界の問題を解くために、確率過程上でのユニバーサルカーネル法を可能にすること。
• 条件付き独立性テストを確率過程に適応させ、多次元軌道からのみを用いて相互作用するシステムの構造的依存関係を再構築する因果発見アルゴリズムを設計すること。

提案手法

• 再生核ヒルベルト空間（RKHS）における経路値確率変数としての1階予測KMEを定義し、時刻tまでのフィルトレーションに関してプロセスの条件付き分布を表現する。
• 繰り返し条件付き確率を用いて高階KMEに一般化：ランクnの予測プロセスは、時系列的依存のn階層までの情報をエンコードする。
• これらの高階KMEのRKHS内積に基づく高階MMDを導入し、フィルトレーション構造を尊重した分布差の測定を可能にする。
• i.i.d.な標本パスの標本を用いて高階MMDの経験的推定器を導出し、ややきつい正則性条件のもとで一貫性を証明する。
• 高階MMDを活用したフィルトレーションに敏感な2標本検定を構築し、シミュレーションデータにおいて標準MMDよりも高い検出力を持つことを示した。
• 高階MMDを用いて確率過程の空間上にユニバーサルカーネル族を構築し、最適停止問題やキャリブレーション問題におけるカーネルベース回帰を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なパスベース埋め込みを超えて、確率過程におけるフィルトレーション依存情報を取り込むために、カーネル平均埋め込みを一般化できるか？
• RQ2 標準MMDでは区別できない確率過程の差を検出できるように、高階MMDをどのように構築できるか？
• RQ3 高階KMEが確率過程の空間上でユニバーサルカーネルを支えることができるか、これにより定量ファイナンスにおける古典的カーネル法を可能にできるか？
• RQ4 観測された多次元軌道とプロセスに適応した条件付き独立性テストのみを用いて、相互作用するシステムの因果発見アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 高階MMDと確率解析における適応的位相の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 高階MMD $\mathcal{D}^{n}_{\mathcal{S}}(X,Y)$ はランク $n-1$ の適応的位相を距離づけることにより、フィルトレーション構造における収束の理論的基盤を提供する。
• 高階MMDの経験的推定器はややきつい条件のもとで一貫性を示し、信頼性の高い統計的推論を保証する。
• 高階MMDに基づく2標本検定は、標準MMDが見逃す分布差を検出できることを、シミュレーションされた確率過程において実証した。
• すべての係数が非負で、全域的解析的関数 $f$ を用いた $K^{n}_{\mathcal{S}}(X,Y) = f(\mathcal{D}^{n}_{\mathcal{S}}(X,Y))$ のカーネル族は $\mathcal{P}(\mathcal{X}(V))$ 上でユニバーサルカーネルを形成し、$k \leq n$ に対して $\mathcal{D}^{k}_{\mathcal{S}}$-位相でユニバーサル近似を可能にする。
• 本手法により、埋め込みプロセス空間上の標準的カーネル回帰を用いて、定量ファイナンス分野における正確なキャリブレーションと最適停止（例：アメリカン・オプション価格設定）が可能になる。
• 因果発見アルゴリズムは、観測された軌道から相互作用する物体間の因果グラフを正確に回復でき、確率過程に適応した条件付き独立性テストを活用した。