[論文レビュー] Higher-Order Lagrangian Formalism on Grassmann Manifolds

D. R. Grigore|ArXiv.org|Sep 1, 1997

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ファイブレーションでない配置空間に対して、グラスマン多様体上の高次ラグランジュ形式主義を発展させ、ラグランジュ、オイラー＝ラグランジュ、ヘルムホルツ＝ゾニン形式の同次および非同次版を導入する。変分的自明性および局所的変分的性質の条件が、ファイブレーションの場合と同様の一般的構造を保つことが示され、微分群の商構造を通じて、一般の幾何的設定へと古典的場の理論形式主義が拡張される。

ABSTRACT

The Lagrangian formalism on a arbitrary non-fibrating manifold is considered. The kinematical description of this generic situation is based on the concept of (higher-order) Grassmann manifolds which is the factorization of the regular velocity manifold to the action of the differential group. Here we introduce in this context the basic concepts of the Lagrangian formalism as Lagrange, Euler-Lagrange and Helmholtz-Sonin forms. These objects come in pairs, namely we have homogeneous objects (defined on the regular velocity manifold) and non-homogeneous objects (defined on the Grassmann manifold). We will establish the connection between the homogeneous objects and their non-homogeneous counterparts. As a result we will conclude that the generic expressions for a variationally trivial Lagrangian and for a locally variational differential equation remain the same as in the fibrating case.

研究の動機と目的

• 標準的な形式主義が失敗するファイブレーションでない多様体への高次ラグランジュ形式主義の一般化を図ること。
• 任意のファイブレーションでない配置空間上での力学系の運動論的記述を扱うこと。
• 正則な速度多様体およびその商であるグラスマン多様体の両方を用いて、ラグランジュ、オイラー＝ラグランジュ、ヘルムホルツ＝ゾニン形式を定義すること。
• 同次形式（速度多様体上）と非同次形式（グラスマン多様体上）の間の対応関係を確立すること。
• 変分的自明なラグランジュ関数および局所的に変分的である微分方程式の一般的な形が、ファイブレーションの場合と同一であることを示すこと。

提案手法

• 微分群による作用の下での正則な速度多様体の商としての高次グラスマン多様体の概念を用いる。
• 正則な速度多様体上で定義される同次ラグランジュ形式と、グラスマン多様体上で定義される非同次形式を導入する。
• 変分原理を用いて、同次および非同次設定の両方でオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 非ファイブレーション的文脈における局所的変分的性質を特徴付けるために、ヘルムホルツ＝ゾニン形式を構成する。
• すべての基本的ラグランジュ的対象の同次および非同次版の間の明確な対応関係を確立する。
• 形式主義を用いて、幾何的一般化の下でも変分的条件の構造的不変性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次ラグランジュ形式主義は、ファイブレーションでない配置多様体へどのように一貫的に拡張可能か？
• RQ2 正則な速度多様体上に定義されたラグランジュ的対象と、それらのグラスマン多様体上での対応物との間の明確な関係は何か？
• RQ3 ラグランジュ関数が変分的自明であるための条件は、ファイブレーションの場合と比較して非ファイブレーションの場合でも構造的に同一のままであるか？
• RQ4 高次系において、グラスマン多様体上にオイラー＝ラグランジュ形式およびヘルムホルツ＝ゾニン形式を一貫して定義可能か？
• RQ5 ファイブレーションが存在しない状況において、変分的条件の不変性を支える幾何的構造は何か？

主な発見

• 変分的自明なラグランジュ関数の一般的な形は、ファイブレーションの場合と比較して非ファイブレーションの場合でも変わらない。
• 微分方程式が局所的に変分的であるための条件は、ファイブレーション設定と同一の構造的表現を保つ。
• 同次形式と非同次形式の間の対応関係は完全に特徴づけられており、微分群による商の過程でも変分的構造が保存される。
• グラスマン多様体上でのオイラー＝ラグランジュ形式およびヘルムホルツ＝ゾニン形式は、適切に定義されており、それらの同次版と正確に対応する。
• 形式主義は、変分的構造に損失を生じることなく、任意のファイブレーションでない多様体への高次ラグランジュ力学の一般化に成功する。
• 結果として、古典的場の理論の基本的変分的原理が、ファイブレーションを越えた幾何的一般化に対しても頑健であることが確認された。