[論文レビュー] Higher-order Lie bracket approximation and averaging of control-affine systems with application to extremum seeking

Sameer Pokhrel, Sameh A. Eisa|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2023

Extremum Seeking Control Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時系列計算を用いて制御アフィン系における高次リーブラケット近似と高次平均化の間のきめ細やかな関係を確立し、n次リーブラケット近似が(n+1)次平均化項に対応することを証明している。この枠組みにより、先行研究における未検証の仮定が排除され、性能最適化のための高次ダイナミクスの特定により、極値探索における収束速度の向上が可能になる。

ABSTRACT

This paper provides a rigorous derivation for what is known in the literature as the Lie bracket approximation of control-affine systems in a more general and sequential framework for higher-orders. In fact, by using chronological calculus, we show that said Lie bracket approximations can be derived, and considered, as higher-order averaging terms. Hence, the theory provided in this paper unifies both averaging and approximation theories of control-affine systems. In particular, the Lie bracket approximation of order ($n$) turns out to be a higher-order averaging of order ($n+1$). The derivation and formulation provided in this paper can be directly reduced to the first and second-order Lie bracket approximations available in the literature. However, we do not need to make many of the unproven assumptions provided in the literature and show that they are in fact natural corollaries from our work. Moreover, we use our results to show that important and useful information about control-affine extremum seeking systems can be obtained and used for significant performance improvement, including a faster convergence rate influenced by higher-order derivatives. We provide multiple numerical simulations to demonstrate both the conceptual elements of this work as well as the significance of our results on extremum seeking with comparison against the literature.

研究の動機と目的

• 時系列計算を用いて、制御アフィン系におけるリーブラケット近似の厳密な導出を提供すること。
• 平均化理論と近似理論の間のギャップを埋めるために、リーブラケット近似が高次平均化項であることを示すこと。
• 提案された枠組みから自然に導かれる帰結として、先行文献における未検証の仮定を排除すること。
• 高次ダイナミクスを活用した制御器設計を可能にするために、結果を極値探索系に適用し、収束速度と性能を向上させること。
• 既存の文献と比較する数値シミュレーションを通じて、理論的発見の妥当性を検証すること。

提案手法

• 時変な制御アフィン系から、体系的に高次リーブラケット近似を時系列計算を用いて導出する。
• n次リーブラケット近似が(n+1)次平均化項に等価であることを導出し、形式的な階層を確立する。
• 反復リーブラケットと時間平均化係数を用いて、制御アフィン極値探索系にこの枠組みを適用する。
• 周期上での再帰的括弧作用と積分を用いて、4次まで高次平均化項を計算し、平均化されたベクトル場の明示的表現を導出する。
• ω^(p*-1)を含むスケーリング因子を用いて、結果を高速時間スケールから遅い時間スケールに変換し、実用的応用を可能にする。
• 4次平均化系の明示的公式を導出し、三角関数積の積分および制御入力変調を含む係数を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御アフィン系におけるリーブラケット近似は、どのようにして高次平均化理論と正式に結びつけることができるか？
• RQ2 リーブラケット近似が高次平均化項として現れる正確な数学的条件は何か？
• RQ3 先行文献におけるリーブラケット近似に関する未検証の仮定は、より一般的な枠組みから帰結として導けるか？
• RQ4 高次平均化項は、極値探索制御系における収束速度をどのように向上させることができるか？
• RQ5 反復リーブラケットと制御入力変調の観点から、4次平均化系の構造はどのようなものか？

主な発見

• n次リーブラケット近似が、制御アフィン系において(n+1)次平均化項に厳密に等価であることが示された。
• 時系列計算の自然な帰結として導かれるため、先行研究における恣意的仮定がこの枠組みによって排除された。
• 4次平均化系が明示的に導出され、二重および三重リーブラケットを含む項と、ω^(p_i + p_j + p_k + p_l - 3)に依存する係数を含む。
• 導出された4次平均化項には、[ [b_i, b_j], [b_k, b_l] ]、[ [[b_i, b_j], b_k], b_l ]、および[ b_l, [[b_i, b_j], b_k] ]の寄与が含まれ、時間平均化係数を伴う。
• 高次ダイナミクスを明らかにすることで、制御器設計において活用可能となり、極値探索における収束速度の向上が可能になった。
• 数値シミュレーションにより、高次項の重要性が確認され、古典的な1次および2次近似と比較して性能向上が実証された。