[論文レビュー] Higher-Order Model Checking Step by Step

Paweł Parys|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、再帰的スキームの順序を1つずつ段階的に低下させる、新しい段階的アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムにより、順序nのスキームが順序(n−1)のスキームに変換され、受理性が保存され、サイズは指数的にしか増加しない。n回のこのステップを経て、問題は有限のパリティゲームの解法に帰着され、最適なn-EXPTIME複雑性が達成され、型のアリティとオートマトンのサイズが有界であればFPTアルゴリズムが得られる。

ABSTRACT

We show a new simple algorithm that solves the model-checking problem for recursion schemes: check whether the tree generated by a given higher-order recursion scheme is accepted by a given alternating parity automaton. The algorithm amounts to a procedure that transforms a recursion scheme of order $n$ to a recursion scheme of order $n-1$, preserving acceptance, and increasing the size only exponentially. After repeating the procedure $n$ times, we obtain a recursion scheme of order $0$, for which the problem boils down to solving a finite parity game. Since the size grows exponentially at each step, the overall complexity is $n$-EXPTIME, which is known to be optimal. More precisely, the transformation is linear in the size of the recursion scheme, assuming that the arity of employed nonterminals and the size of the automaton are bounded by a constant; this results in an FPT algorithm for the model-checking problem. Our transformation is a generalization of a previous transformation of the author (2020), working for reachability automata in place of parity automata. The step-by-step approach can be opposed to previous algorithms solving the considered problem "in one step", being compulsorily more complicated.

研究の動機と目的

• 高階再帰的スキームと交互パリティオートマトンの間のモデルチェックイングのための、シンプルで段階的なアルゴリズムを提供すること。
• 再帰的スキームの順序を段階的に低下させることで、最適なn-EXPTIME複雑性を達成すること。
• 到達可能性オートマトンのための先行する変換を、パリティオートマトンの完全なクラスへ一般化すること。
• 本質的により複雑であるため、従来の「1ステップ」アルゴリズムに代わる、より透明性があり技術的でない代替手段を提供すること。
• 将来的な拡張、例えば同時無限問題の解決のための基盤を構築すること。

提案手法

• アルゴリズムは再帰的な順序低減を実行する：順序nの再帰的スキームを順序(n−1)のスキームに変換しながら受理性を保持する。
• 型のアリティとオートマトンのサイズが定数で有界であれば、各変換ステップは再帰的スキームのサイズに対して線形に計算可能である。
• 変換は有限パリティゲームに基づくゲーム理論的構成を用い、元のスキームの動作を低順序の設定でシミュレートする。
• 正しい変換を保証するため、優先度列と収縮関係（⪯および⪰）を含む、新しい不変量に依存している。
• 変換前後のスキーム間で戦略のシミュレーションを維持することで、勝利プレイが低減過程中に保存されることを保証する。
• このプロセスをn回繰り返すことで、スキームは順序0にまで低下し、受理性は有限パリティゲームの解法に帰着される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階再帰的スキームのモデルチェックイング問題は、スキームの順序を段階的に低減するシンプルなアプローチによって解けるか？
• RQ2 到達可能性オートマトンのための先行する変換を、より表現力の高いパリティオートマトンのクラスへ一般化することは可能か？
• RQ3 段階的低減アプローチは、モノリティックな1ステップ手法に比べ、よりシンプルかつ透明性の高いアルゴリズムをもたらすか？
• RQ4 得られるアルゴリズムは、アリティとオートマトンのサイズが有界な場合に、最適なn-EXPTIME複雑性を達成し、FPT性能を維持できるか？
• RQ5 この変換フレームワークは、同時に無限問題のような他の問題の解決へ拡張可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、交互パリティオートマトンに対する高階再帰的スキームのモデルチェックイングにおいて、最適なn-EXPTIME複雑性を達成する。
• 型のアリティとオートマトンのサイズが定数で有界であれば、順序nからn−1への変換は再帰的スキームのサイズに対して線形であり、結果としてFPTアルゴリズムが得られる。
• 正しい変換は、優先度列と⪯/⪰収縮関係を含むゲームベースの不変量によって確立される。
• この手法は、到達可能性オートマトンのための先行結果をパリティオートマトンの完全なクラスへ一般化し、適用範囲を拡大している。
• 理論的に重要であるが、各低減ステップでのサイズの指数的増加のため、実世界の用途にはおそらく不適切である。
• このフレームワークは、将来的に再帰的スキームの同時無限問題など、他の問題への拡張の可能性を示している。