[論文レビュー] Higher Order Normalizations in the Generalized Photogravitational Restricted Three Body Problem with Poynting-Robertson Drag

Badam Singh Kushvah, J.P. Sharma+1 more|ArXiv.org|Sep 29, 2007

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一次主星からの放射圧、二次主星の扁平性、および非重力的力を組み込んだ一般化された光重力的制限三体問題において、ポインティング・ロバートソン効果を含む高次正規化を実行する。ホイットakerの方法を用いて2次正規化を行い、ヘネラールのアプローチと二重ダランベール級数を用いて、放射、扁平性、P-R効果に起因する1次および2次成分を導出し、作用角変数における3次ハミルトニアン部 $H_3$ が恒等的に消えることを証明する。

ABSTRACT

Higher order normalizations are performed in the generalized photogravitational restricted three body problem with Poynting-Robertson drag. In this problem we have taken bigger primary as a source of radiation and smaller primary as an oblate spheroid. Whittaker method is used to transform the second order part of the Hamiltonian into the normal form. We have also performed Birkhoff's normalization of the Hamiltonian. For this we have tilized Henrard's method and expanded the coordinates of the infinitesimal body in double D'Alembert series. We have found the values of first and second order components. They are affected by radiation pressure, oblateness and P-R drag. Finally we obtained the third order part of the Hamiltonian zero. Keywords:Higher Order Normalization, Generalized Photogravitational, RTBP,P-R drag

研究の動機と目的

• 古典的制限三体問題に、放射圧、ポインティング・ロバートソン効果、および二次主星の扁平性を組み込むこと。
• これらの結合摂動下でのトライアングル平衡点の非線形的安定性を調査すること。
• 長期間にわたる軌道的挙動を分析するために、ハミルトニアン系の高次正規化を実行すること。
• 放射圧、扁平性、P-R効果が正規化ハミルトニアンの1次および2次成分に与える影響を特定すること。
• 3次ハミルトニアン部が消えるかどうかを検証すること。これはKAM安定性解析において極めて重要である。

提案手法

• ホイットakerの方法を用いて、ハミルトニアンの2次部分を正規形に変換し、$H_2 = \omega_1 I_1 - \omega_2 I_2$ を得た。
• ヘネラールの方法を用いて、ビーカーフォーム正規化を実行し、無限小物体の座標を二重ダランベール級数で展開した。
• KAM定理の第一条件を用いて、1次および2次成分のための2つの偏微分方程式を解いた。
• 放射圧 ($q_1$)、扁平性 ($A_2$)、ポインティング・ロバートソン効果 ($W_1$) の摂動を正規化プロセスに組み込んだ。
• 正規化された成分 $G_1, G_2, G_3, G_4$ 及びそれらのプライムおよびダブルプライムの変種を、$\epsilon$, $A_2$, $nW_1$, および $\gamma$ の関数として表現した。
• 作用角変数 $I_1^{1/2}, I_2^{1/2}$ における3次ハミルトニアン部 $H_3$ が恒等的に消えることを確認した。これは摂動パrameterに依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放射圧、ポインティング・ロバートソン効果、および扁平性は、一般化された光重力的制限三体問題におけるハミルトニアンの正規化にどのように影響するか？
• RQ2 これらの摂動下での正規化ハミルトニアンの1次および2次成分の明示的表現は何か？
• RQ3 放射、扁平性、P-R効果の併存下で、ハミルトニアンの3次部分は消えるのか？
• RQ4 この摂動系におけるトライアングル平衡点に対して、KAM条件はどの程度成立するか？
• RQ5 ホイットakerおよびヘネラールの手法を用いて、この拡張されたRTBPモデルに高次正規化プロセスを体系的に適用できるか？

主な発見

• ホイットakerの手法を用いて、2次ハミルトニアン $H_2$ を正規形 $H_2 = \omega_1 I_1 - \omega_2 I_2$ に成功して変換した。
• 正規化の1次および2次成分が明示的に導出され、放射圧 ($q_1$)、扁平性 ($A_2$)、ポインティング・ロバートソン効果 ($W_1$) に依存することが判明した。
• 作用角変数 $I_1^{1/2}, I_2^{1/2}$ における3次ハミルトニアン部 $H_3$ は恒等的にゼロであり、この次数における長期項の存在が確認された。
• $H_3$ の消滅は、すべての係数 $A_{3,0}, A_{2,1}, A_{1,2}, A_{0,3}$ に対して独立に検証され、DepritおよびDeprit Bartholomé (1967) の結果と整合的であった。
• 正規化プロセスにより、平衡点近傍の系の力学が3次共振項を含まず、KAM理論による非線形的安定性が支持された。
• $G_i, G_i', G_i''$（$i=1$ から $4$ まで）の導出された表現は、$\epsilon$, $A_2$, $nW_1$, および $\gamma$ に依存することを明確に示しており、摂動の影響を定量的に評価している。