[論文レビュー] Higher order regionally proximal equivalence relations for general minimal group actions

Eli Glasner, Yonatan Gutman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般の極小群作用に対して、$\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ と表記される高次ノンセントリックな局所的近接関係を導入し、アーベル群に限らない設定へホスト–クラウ–モースの関係を一般化する。すべての極小作用に対して $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が同値関係であることを証明し、これは高々 $d$ 階の最大のプロニルファクターに対応することを示し、タオの問いに答え、ガットマン、マンナーズ、ヴァルジュの結果を用いて非アーベル設定へ拡張する。

ABSTRACT

We introduce higher order regionally proximal relations suitable for an arbitrary acting group. For minimal abelian group actions, these relations coincide with the ones introduced by Host, Kra and Maass. Our main result is that these relations are equivalence relations whenever the action is minimal. This was known for abelian actions by a result of Shao and Ye. We also show that these relations lift through extensions between minimal systems. Answering a question by Tao, given a minimal system, we prove that the regionally proximal equivalence relation of order $d$ corresponds to the maximal dynamical Antolín Camarena--Szegedy nilspace factor of order at most $d$. In particular the regionally proximal equivalence relation of order one corresponds to the maximal abelian group factor. Finally by using a result of Gutman, Manners and Varjú under some restrictions on the acting group, it follows that the regionally proximal equivalence relation of order $d$ corresponds to the maximal pronilfactor of order at most $d$ (a factor which is an inverse limit of nilsystems of order at most $d$).

研究の動機と目的

• ホスト–クラウ–モースの高次局所的近接関係をアーベル群から一般の群作用へ一般化すること。
• すべての極小作用に対して $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が同値関係であることを確立すること、非アーベル群に対しても同様に成り立つこと。
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が極小系間の拡大を通して持ち上がることを示すこと。
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が高々 $d$ 階の最大の力学的アントリニ・カマレーナ–ツェゲディニルスケールファクターに対応することを証明し、タオの問いに答えること。
• ガットマン、マンナーズ、ヴァルジュの結果を用いて、群の制約のもとで $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が高々 $d$ 階のプロニルファクターに対応することを結びつけること。

提案手法

• 立方体構造とホスト–クラウ–モースの枠組みを用いて、$\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ を閉じた $G$-不変関係として定義し、アーベルの場合を一般化する。
• 包方向代数の手法を用いて $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が同値関係であることを証明し、エリス–グラスナー–シャピロの構造理論を避ける直接的証明を提供する。
• 関係 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が拡大に関して保存されることを活用する：拡大 $\pi: X \to Y$ に対して $\pi \times \pi(\mathbf{NRP}^{[d]}(X)) = \mathbf{NRP}^{[d]}(Y)$ が成り立つ。
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X) = \Delta$ であることは、かつて $X$ が高々 $d$ 階の系であることと同値であり、$X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ がそのような最大のファクターであることを示す。
• ニルスケールとキューブスペースの理論を用いて、$\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ を立方体集合 $C_G^{[d+1]}(X)$ を通じて特徴づける。恒等式 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X) = \{ (x,y) \mid \urcorner^{[d+1]}(x,y) \in C_G^{[d+1]}(X) \}$ を用いる。
• ガットマン、マンナーズ、ヴァルジュの結果を応用し、群の条件が満たされるとき、$X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が高々 $d$ 階のプロニルファクター、すなわち $\leq d$ 階のニルシステムの逆極限であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次局所的近接関係は、アーベル群作用を超えて意味的に拡張可能だろうか？
• RQ2 すべての一般群の極小作用に対して $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は同値関係だろうか？
• RQ3 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は高々 $d$ 階の最大のニルスケールファクターに対応するだろうか？
• RQ4 $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は極小系間の拡大においてどのように振る舞うだろうか？
• RQ5 どのような条件下で $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ が高々 $d$ 階のプロニルファクターに対応するだろうか？

主な発見

• 任意の極小系 $(G,X)$ に対して、$\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は同値関係である。$G$ が非アーベルであっても成り立つ。
• $G$ がアーベル群であるとき、$\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ はホスト–クラウ–モースの高次局所的近接関係と一致する。
• ファクター $X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は、$\mathbf{NRP}^{[d]}$ が自明となるような $(G,X)$ の最大のファクターであり、高々 $d$ 階の系として最大である。
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は高々 $d$ 階の最大の力学的アントリニ・カマレーナ–ツェゲディニルスケールファクターに対応し、タオの関連する予想を確認する。
• 群 $G$ がコンパクト群によって生成される帰納的部分群をもつ条件のもとで、$X / \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は高々 $d$ 階のプロニルファクター、すなわち $\leq d$ 階のニルシステムの逆極限である。
• $\mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ は立方体条件によって特徴づけられる：$(x,y) \in \mathbf{NRP}^{[d]}(X)$ であることと、$\urcorner^{[d+1]}(x,y) \in C_G^{[d+1]}(X)$ であることは同値である。