[論文レビュー] Higher Order SUSY in Quantum Mechanics and Integrability of Two-dimensional Hamiltonians

A. A. Andrianov, M. V. Ioffe+1 more|ArXiv.org|May 27, 1996

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元系における力学的対称性演算子を特定するため、量子力学における高次スーパicens (SUSY) アプローチを導入する。高次導関数次数のスーパーチャージを用いてSUSY代数を拡張することで、運動量に関して最高4次までの保存量が明らかになり、特に隠れた対称性構造を持つ特定のポテンシャルに対して、古典的および量子的可積分系の構築が可能になる。

ABSTRACT

The new method based on the SUSY algebra with supercharges of higher order in derivatives is proposed to search for dynamical symmetry operators in 2-dim quantum and classical systems. These symmetry operators arise when closing the SUSY algebra for a wide set of potentials. In some cases they are of 2-nd order in derivatives. The particular solutions are obtained also for potentials accepting symmetry operators of 4-th order. The investigation of quasiclassical limit of the SUSY algebra yields new classical integrals of motion for a certain type of systems which are polynomials of 4-th order in momenta. The general SUSY-inspired algorithm to construct classical systems with additional integrals of motion is outlined.

研究の動機と目的

• 2次元量子系および古典系における力学的対称性演算子を特定するための体系的かつ包括的な手法を開発すること。
• 標準的一階SUSYとは異なり、高次スーパーチャージが標準的一階SUSYを超える追加の保存量を生成する仕組みを明らかにすること。
• 量子力学的SUSY構造と古典的可積分性との間の関係を、特に多項式的保存量（運動量の高次）を持つ系において確立すること。
• 提案されたSUSYフレームワークを用いて、2次および4次対称性演算子を有するポテンシャルの明示的例を構築すること。
• SUSY代数の準古典的極限を導出し、運動量に関して4次多項式である新しい古典的保存量を抽出すること。

提案手法

• 標準的一階SUSYを一般化するため、高次導関数次数（例：2次または4次）のスーパーチャージを有するSUSY代数を形式化する。
• 代数的閉包条件を適用し、SUSY代数が閉じるポテンシャルを同定することで、保存演算子の存在を示す。
• SUSY代数の準古典的極限を用いて、運動量に関して4次多項式である古典的保存量を導出する。
• 2次および4次対称性演算子を有するポテンシャルの明示的解を構築し、可積分性を実証する。
• SUSYにインspiredされたフレームワークに基づき、追加の保存量を有する古典的ハミルトニアン系を生成する一般アルゴリズムを開発する。
• SUSY代数の構造を用いて、2次元系における高次保存量を有するポテンシャルを体系的に分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次スーパーチャージは、2次元系における力学的対称性演算子をどのように生成するか？
• RQ2 どのような2次元ポテンシャルクラスが、拡張されたSUSY代数によって2次および4次保存演算子を有するか？
• RQ3 高次SUSY代数の準古典的極限とは何か？ そして、どのような古典的保存量（運動量の4次多項式）を生成するか？
• RQ4 SUSYフレームワークを用いて、運動量の4次多項式的保存量を有する体系的な古典的可積分ハミルトニアンを構築できるか？
• RQ5 2次元系における量子力学的SUSY構造と古典的可積分性の関係は何か？

主な発見

• 本稿は、高次SUSY代数の閉包から生じる2次微分の力学的対称性演算子を有する2次元量子系の明示的例を構築した。
• 特定のポテンシャルクラスに対して、4次微分の対称性演算子が得られ、より高い可積分性が示された。
• 高次SUSY代数の準古典的極限は、運動量に関して4次多項式である新しい古典的保存量を生成した。
• SUSYにインspiredされたフレームワークに基づき、追加の保存量を有する古典的ハミルトニアン系を生成する一般アルゴリズムを提案した。
• 本アプローチにより、量子力学的SUSY構造と古典的可積分性を統一的に結びつけることに成功し、可積分系を特定する包括的な手法を提供した。
• 本手法により、標準的一階SUSY手法では到達できない保存量を、高次SUSYが体系的に生成できることを示した。