[論文レビュー] Higher order tangents and Higher order Laplacians on Sierpinski Gasket Type Fractals

Shiping Cao, Hua Qiu|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Sierpinski gasket などの D3 または D4 対称性をもつ p.c.f. 分形上における高階接線およびラプラシアンの理論を確立する。高階弱接線が、頂点付近で関数と一致する局所的多調和関数の一様極限として表され、高階ラプラシアンが、グラフラプラシアンの正規化された一様極限として生じることを証明する。これには、テイラー多項式に類似した局所的単項式が用いられる。

ABSTRACT

We study higher order tangents and higher order Laplacians on p.c.f. self-similar sets with fully symmetric structures, such as $D3$ or $D4$ symmetric fractals. Firstly, let $x$ be a vertex point in the graphs that approximate the fractal, we prove that for any $f$ defined near $x$, the higher oder weak tangent of $f$ at $x$, if exists, is the uniform limit of local multiharmonic functions that agree with $f$ in some sense near $x$. Secondly, we prove that the higher order Laplacian on a fractal can be expressible as a renormalized uniform limit of higher order graph Laplacians on the graphs that approximate the fractal. The main technical tool is the theory of local multiharmonic functions and local monomials analogous to $(x-x_0)^j/j!$. The results in this paper are closely related to the theory of local Taylor approximations, splines and entire analytic functions. Some of our results can be extended to general p.c.f. fractals. In Appendix of the paper, we provide a recursion algorithm for the exact calculations of the boundary values of the monomials for $D3$ or $D4$ symmetric fractals, which is shorter and more direct than the previous work on the Sierpinski gasket.

研究の動機と目的

• 分形上における高階微分およびラプラシアン、特に頂点における未解決問題を解消すること。
• 分形上におけるテイラー多項式の類似物としての局所的多調和関数および単項式の理論を構築すること。
• 関数と頂点付近で一致する多調和関数の一様極限として高階接線を表現すること。
• 近似グラフ上の高階グラフラプラシアンの正規化極限として高階ラプラシアンを表現できることを示すこと。
• D4 対称性をもつ一般の p.c.f. 分形、特に四面体型 Sierpinski gasket などの D4 対称ケースに結果を拡張すること。

提案手法

• 古典的解析における $ (x - x_0)^j / j! $ に類似した、頂点付近における局所的単項式を、局所的多調和関数の基底として導入する。
• 局所的多調和関数の理論を用いて、関数 $ f $ と頂点付近で一致する関数の列の極限として、高階弱接線を一様極限として構成する。
• 近似グラフ $ G_m $ 上に高階グラフラプラシアンを定義し、その正規化極限が一様に分形ラプラシアンに収束することを証明する。
• 付録に記載された再帰的アルゴリズムを用いて、D3 および D4 対称分形における単項式の境界値を計算し、従来の方法を改善する。
• D3 および D4 分形の完全な対称性を活用して、調和構造および固有値問題の解析を簡略化する。
• 可能な限り対称性に基づく技術を一般の p.c.f. 分形に適応して結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分形の頂点における高階接線は、頂点付近で関数 $ f $ と一致する局所的多調和関数の列の一様極限として表せるか？
• RQ2 $ n $ 階分形ラプラシアン $ \Delta_\mu^n f $ は、点の近傍に近づく頂点における $ f $ の値の線形結合を含む点毎の式の列の一様極限として表せるか？
• RQ3 Sierpinski gasket や四面体型 gasket のような対称分形において、局所的単項式の境界値を効率的に計算する方法は何か？
• RQ4 D3 対称分形に関する結果は、他の p.c.f. 分形へどの程度一般化可能か？
• RQ5 単項式展開における係数 $ \alpha_j $、$ \beta_j $ の漸近的挙動は何か？また、これらはラプラシアンの固有値とどのように関係するか？

主な発見

• 頂点における高階弱接線は、関数 $ f $ と近傍で一致する局所的多調和関数の列の一様極限として表され、問1に対して肯定的な答えが得られた。
• 高階ラプラシアン $ \Delta_\mu^n f $ は、近似グラフ $ G_m $ 上の高階グラフラプラシアンの正規化された一様極限として表現可能であり、問2に対しても肯定的な答えが得られた。
• Sierpinski gasket $ \mathcal{SG} $ において、単項式基底の係数 $ \alpha_j $、$ \beta_j $ は超指数的減衰を示し、$ j=10 $ で $ \alpha_j \sim 10^{-23} $ に達するなど、収束が著しく速いことが示された。
• 付録の再帰的アルゴリズムにより、単項式の境界値を従来の方法よりも効率的に計算でき、$ \mathcal{SG} $ では $ j=15 $ で収束率が安定することが観察された。
• 比 $ \alpha_{j-1}/\alpha_j $ および $ \beta_{j-1}/\beta_j $ は、$ \mathcal{SG} $ で約 $ -124.68 $、$ \mathcal{HG} $ で約 $ -46.73 $、$ \mathcal{SG}^4 $ で約 $ -338.81 $ に収束し、単項式構造における自己相似的スケーリングを示している。
• 結果は、四面体型 Sierpinski gasket や Vicsek セットなどの D4 対称分形にも同様に拡張可能であり、類似した単項式およびラプラシアン構成が可能である。