[論文レビュー] Higher-Order Topology of Three-Dimensional Strong Stiefel-Whitney Insulators

Junyeong Ahn, Bohm‐Jung Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Topological Materials and Phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$C_{2z}T$ 対称性によって保護される2次元のトポロジカル不変量である2番目のスティーフェル＝ウイットニー数が、3次元トポロジカル・クリスタルインスレーターにおける $C_{2z}T$ 行列表現の2番目のホモトピー類を分類することを確立している。本稿は、ファングとフーが以前に提唱した3次元のストロング・スティーフェル＝ウイットニー・インスレーターが、量子化された磁電極効率を示すことを証明しており、これにより同時にヘッジモードの chirality と2次元の表面ディラックフェルミオンが現れ、1次および2次トポロジカル特性が統合されることを示している。

ABSTRACT

We study the homotopy classification of symmetry representations to describe the bulk topological invariants protected by the combined operation of a two-fold rotation $C_{2z}$ and time-reversal $T$ symmetries. We define topological invariants as obstructions to having smooth Bloch wave functions compatible with a momentum-independent symmetry representation. When the Bloch wave functions are required to be smooth, the information on the band topology is contained in the symmetry representation. This implies that the $d$-dimensional homotopy class of the unitary matrix representation of the symmetry operator corresponds to the $d$-dimensional topological invariants. Here, we prove that the second Stiefel-Whitney number, a two-dimensional topological invariant protected by $C_{2z}T$, is the homotopy invariant that characterizes the second homotopy class of the matrix representation of $C_{2z}T$. As an application of our result, we show that the three-dimensional bulk topological invariant for the $C_{2z}T$-protected topological crystalline insulator proposed by C. Fang and L. Fu in Phys. Rev. B 91, 161105(R) (2015), which we call the 3D strong Stiefel Whitney insulator, is identical to the quantized magnetoelectric polarizability. The bulk-boundary correspondence associated with the quantized magnetoelectric polarizability shows that the 3D strong Stiefel-Whitney insulator has chiral hinges states as well as 2D massless surface Dirac fermions. This shows that the 3D strong Stiefel Whitney insulator has the characteristics of both the first order and the second order topological insulators, simultaneously, which is consistent with the recent classification of higher-order topological insulators protected by an order-two symmetry.

研究の動機と目的

• 3次元トポロジカル・クリスタルインスレーターの、$C_{2z}T$ 対称性によって保護されるバルクトポロジカル不変量を分類すること。
• $C_{2z}T$ 対称性の下での対称性表現の滑らかさに基づくホモトピー論的枠組みを確立すること。
• 3次元のストロング・スティーフェル＝ウイットニー・インスレーター相を特徴付けるトポロジカル不変量を同定すること。
• ヘッジモードと表面ディラック状態の出現を通じて、この不変量のバルク-境界対応を実証すること。

提案手法

• ホモトピー分類を用いて、$C_{2z}T$ 対称性下での滑らかなブロッホ波動関数への障害を分析する。
• トポロジカル不変量を、運動量に依存しない対称性表現への障害として定義し、$C_{2z}T$ のユニタリ行列表現のホモトピー類と関連付ける。
• 2番目のスティーフェル＝ウイットニー数が、$C_{2z}T$ 行列表現の2番目のホモトピー類に対応するトポロジカル不変量であると特定する。
• 対称性とトポロジーの議論を通じて、3次元バルク不変量と量子化された磁電極効率の対応を導出する。
• ファングとフー（2015年）が提唱した3次元ストロング・スティーフェル＝ウイットニー・インスレーター・モデルに分類を適用し、そのトポロジカル性を確認する。
• ヘッジモードと2次元表面ディラックフェルミオンの同時存在を示すことで、バルク-境界対応を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元のストロング・スティーフェル＝ウイットニー・インスレーターを $C_{2z}T$ 対称性が保護する際、そのトポロジカル不変量は何か？
• RQ2 2番目のスティーフェル＝ウイットニー数は、$C_{2z}T$ 行列表現のホモトピー類とどのように関係するか？
• RQ3 ストロング・スティーフェル＝ウイットニー・インスレーターの3次元バルク不変量は、量子化された磁電極効率と等価か？
• RQ4 $C_{2z}T$ 対称性下で、バルク不変量が予測する表面状態とヘッジ状態は何か？
• RQ5 この系は、どのようにして1次および2次トポロジカル特徴を同時に実現するのか？

主な発見

• 2番目のスティーフェル＝ウイットニー数が、$C_{2z}T$ 行列表現の2番目のホモトピー類を特徴付けるホモトピー不変量であることが証明された。
• 3次元ストロング・スティーフェル＝ウイットニー・インスレーターのバルク不変量が、量子化された磁電極効率と等価であることが示された。
• 系は、2次トポロジカル挙動を示す chirality を持つヘッジ状態を示している。
• 系は、1次トポロジカル特性を示す2次元の質量ゼロの表面ディラックフェルミオンを有している。
• ヘッジ状態と表面状態の同時存在が確認され、系が1次および2次トポロジカル特徴を併せ持つハイヤー・オーダー・トポロジカル・インスレーターであることが確認された。
• 本分類は、最近の2次対称性によって保護されるハイヤー・オーダー・トポロジカル・インスレーターの枠組みと整合している。