[論文レビュー] Higher order Trace Finite Element Methods for the Surface Stokes Equation

Thomas Jankuhn, Arnold Reusken|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックなトレース有限要素法とTaylor-Hood $\mathbf{P}_k$--$P_{k-1}$ 関数空間、および接線速度制約を強制するペナルティ法を用いて、表面ストークス方程式の高次元トレース有限要素法を提案する。この手法は、$k=2$ および $k=3$ に対して $H^1$ および $L^2$ ノルムで $h^{k}$ の最適収束率を達成し、Weingarten マップの近似を必要とする一貫性のある定式化と、計算の単純さを提供する一貫性のないバージョンを併せ持つ。

ABSTRACT

In this paper a class of higher order finite element methods for the discretization of surface Stokes equations is studied. These methods are based on an unfitted finite element approach in which standard Taylor-Hood spaces on an underlying bulk mesh are used. For treating the constraint that the velocity must be tangential to the surface a penalty method is applied. Higher order geometry approximation is obtained by using a parametric trace finite element technique, known from the literature on trace finite element methods for scalar surface partial differential equations. Based on theoretical analyses for related problems, specific choices for the parameters in the method are proposed. Results of a systematic numerical study are included in which different variants are compared and convergence properties are illustrated.

研究の動機と目的

• 曲がった表面における高次精度で表面ストークス方程式を解く課題に対処する。
• 時間的に変化する表面に対しても表面再メッシュを回避する強固な非適合有限要素法を構築する。
• 幾何的近似誤差と接線速度制約の下でも最適収束率を確保する。
• トレースFEMにおける精度と安定性のバランスをとるためのペナルティおよび安定化パrameterの選定を提案する。
• 高次元設定における接線流れの強制に、一貫性のあると一貫性のないペナルティ定式化を比較する。

提案手法

• 標準的なTaylor-Hood有限要素空間を用いた非適合ボリュームメッシュに基づくトレース有限要素法を採用する。
• ペナルティ定式化を用いて接線速度制約を強制し、一貫性のあるおよび一貫性のない両方のバージョンを用いる。
• 表面の高次元幾何近似を達成するために、パラメトリックトレース有限要素技術を適用する。
• 非適合設定における小刻みな要素カットに起因する不安定性を抑えるために安定化項を導入する。
• 離散系を定義するために、エネルギーノルム、一貫性、安定化の成分を含む変分定式化を用いる。
• 特にペナルティおよび安定化パrameterのための理論的分析に基づくパラメータスケーリング則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元トレース有限要素法は、表面ストークス方程式に対して最適収束率を達成できるか？
• RQ2 一貫性のあると一貫性のないペナルティ定式化の選択が、精度と安定性に与える影響は何か？
• RQ3 幾何的誤差が存在する状況で最適収束率を確保するためのパrameterスケーリング（ペナルティ、安定化）は何か？
• RQ4 幾何的近似誤差は、トレースFEMにおける全体の離散化誤差にどのように影響するか？
• RQ5 一貫性のないペナルティ定式化に対し、最適な誤差境界を確立できるか、数値的にどのように比較されるか？

主な発見

• $k=2$ および $k=3$ の場合、速度の $H^1$ ノルムおよび $L^2$ ノルムで $h^k$ の最適収束率を達成し、$k=2$ では $\mathcal{O}(h^2)$、$k=3$ では $\mathcal{O}(h^3)$ の収束を示す。
• 一貫性のある定式化（P1h）は、エネルギーノルム $e_A^\mathbf{u} \sim h^{k}$ を含め、すべての誤差成分で $\mathcal{O}(h^{k})$ の収束を達成する。
• 一貫性のない定式化（P2h）は、$a_h$ および $s_h$ で $\mathcal{O}(h^{k})$ の収束を示すが、エネルギーノルム $e_A^\mathbf{u} \sim h^{(k+1)/2}$ であり、最適でない収束を示す。
• 球面およびトーラスの両方の表面で、観測された収束率は理論的期待に一致しており、$\boldsymbol{P}_3$--$P_2$ の最後のメッシュ細分化段階で行列条件数の影響によりわずかに劣化が見られる。
• 一貫性のある手法はWeingartenマップの計算を要するが、一貫性のない手法はこれを回避し、計算上の利点を有する。
• 数値結果により、提案されたパrameter選定が、さまざまな表面幾何形状およびメッシュ細分化レベルにおいて安定かつ正確な解をもたらすことが確認された。