[論文レビュー] Higher Order Tur\'an Inequalities for the Partition Function

William Y. C. Chen, Dennis X. Q. Jia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

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ひとこと要約

この論文は、ハーディ＝ラマヌジャン＝ラデマッハ公式を用いて、$ p(n) $ の比 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ に対するきめ細やかな境界を導出し、$ n \geq 95 $ で分割関数 $ p(n) $ が高階のツァラントイネグアリティを満たすことを証明している。主な結果として、$ n \geq 95 $ で関連するジェンセン多項式 $ g_{3,n-1}(x) $ がすべて実根を持つことが確認され、$ p(n) $ の高次多項式の実根性に関するより広範な予想を支持する。

ABSTRACT

The Tur\\'{a}n inequalities and the higher order Tur\\'{a}n inequalities arise in the study of Maclaurin coefficients of an entire function in the Laguerre-P\\'{o}lya class. A real sequence $\\{a_{n}\\}$ is said to satisfy the Tur\\'{a}n inequalities if for $n\\geq 1$, $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}\\geq 0$. It is said to satisfy the higher order Tur\\'{a}n inequalities if for $n\\geq 1$, $4(a_{n}^2-a_{n-1}a_{n+1})(a_{n+1}^2-a_{n}a_{n+2})-(a_{n}a_{n+1}-a_{n-1}a_{n+2})^2\\geq 0$. A sequence satisfying the Tur\\'an inequalities is also called log-concave. For the partition function $p(n)$, DeSalvo and Pak showed that for $n>25$, the sequence $\\{ p(n)\\}_{n> 25}$ is log-concave, that is, $p(n)^2-p(n-1)p(n+1)>0$ for $n> 25$. It was conjectured by Chen that $p(n)$ satisfies the higher order Tur\\'{a}n inequalities for $n\\geq 95$. In this paper, we prove this conjecture by using the Hardy-Ramanujan-Rademacher formula to derive an upper bound and a lower bound for $p(n+1)p(n-1)/p(n)^2$. Consequently, for $n\\geq 95$, the Jensen polynomials $g_{3,n-1}(x)=p(n-1)+3p(n)x+3p(n+1)x^2+p(n+2)x^3$ have only real zeros. We conjecture that for any positive integer $m\\geq 4$ there exists an integer $N(m)$ such that for $n\\geq N(m) $, the polynomials $\\sum_{k=0}^m {m\\choose k}p(n+k)x^k$ have only real zeros. This conjecture was independently posed by Ono.

研究の動機と目的

• チャーンの予想、すなわち $ n \geq 95 $ で分割関数 $ p(n) $ が高階のツァラントイネグアリティを満たすことの証明。
• $ n \geq 95 $ でジェンセン多項式 $ g_{3,n-1}(x) = p(n-1) + 3p(n)x + 3p(n+1)x^2 + p(n+2)x^3 $ がすべて実根を持つことの確立。
• ハリー＝ラマヌジャン＝ラデマッハの公式からの漸近展開を用いて、比 $ u_n = p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ の厳密な解析。
• 任意の $ m \geq 4 $ に対して、十分大きな $ n $ で $ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} p(n+k) x^k $ がすべて実根を持つというより広範な予想の支持。
• 主な証明の基盤となる、$ H(x) $、$ G(x) $、および $ \psi(t) $ を含む中間不等式の妥当性の確認。

提案手法

• 分割関数のハリー＝ラマヌジャン＝ラデマッハの漸近公式を用いて、$ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ の上界および下界を導出する。
• 比の漸近的挙動をモデル化するための補助関数 $ G(x) $ および $ H(x) $ を導入し、有理近似を用いた比較を可能にする。
• 判別式条件を分析するために関数 $ \psi(t) = \frac{t + \frac{\sqrt{5}+1}{2}}{(\sqrt{1-t}+1)^2(\sqrt{1-t}+t)} $ を用いる。
• 多項式優勢の議論を用いて、$ x \geq 134 $ で $ 2H(x) - (\sqrt{5}-1)G(x) > 0 $ が成り立つことを示し、これにより $ \psi(H(x)/G(x)) $ の必要な不等式が導かれる。
• $ f(n) $、$ g(n) $、および $ \mu(n) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) $ を用いた不等式の鎖を構築し、$ u_n $ および $ Q(u_n) $ をバインドする。
• 既知の単調性および漸近的境界に依拠して、$ n \geq 1207 $ で $ F(u_{n+1}) > 0 $ が成り立つことを示し、$ u_n < u_{n+1} < Q(u_n) $ を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割関数 $ p(n) $ はすべての $ n \geq 95 $ で高階のツァラントイネグアリティを満たすか？
• RQ2 分割関数 $ p(n) $ に関連するジェンセン多項式 $ g_{3,n-1}(x) $ は $ n \geq 95 $ で実根を持つか？
• RQ3 比 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ は十分にきめ細かくバインド可能であり、立方体ニュートン不等式条件を検証可能か？
• RQ4 立方体形式の判別式が非負のまま保たれるような、$ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ の一様なバインドは存在するか？
• RQ5 任意の $ m \geq 4 $ に対して、十分大きな $ n $ で多項式 $ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} p(n+k) x^k $ がすべて実根を持つというより広範な予想は成立するか？

主な発見

• 高階のツァラントイネグアリティは $ n \geq 95 $ で成り立つ。すなわち、$ 4(1 - u_n)(1 - u_{n+1}) - (1 - u_n u_{n+1})^2 > 0 $ が成り立ち、ここで $ u_n = p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ である。
• $ n \geq 95 $ でジェンセン多項式 $ g_{3,n-1}(x) $ はすべて実根を持つ。これは高階のツァラントイネグアリティの主要な帰結を確認する。
• 証明は、$ n \geq 1207 $ で $ u_n < u_{n+1} < Q(u_n) $ を確立することに依拠しており、ここで $ Q(u_n) $ は立方体判別式条件から導かれる。
• 不等式 $ \psi(H(x)/G(x)) > (1 - H(x)/G(x))^{3/2} $ は $ x \geq 134 $ で成り立ち、これは高階ツァラントイネグアリティの表現をバインドする上で極めて重要である。
• $ n \geq 35457 $ で、$ (1 - H(x)/G(x))^{3/2} > 110 / \mu(n-1)^5 $ が確認され、ここで $ \mu(n) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) $ である。これは主な不等式を支持する。
• 最終的な不等式 $ x^{10}(G(x) - H(x))^3 - 110^2 G(x)^3 > 0 $ は $ x \geq 483 $ で成り立ち、証明に用いられたバインドの鎖が正当化されることを確認する。