[論文レビュー] Higher order variational time discretization of optimal control problems

Cédric M. Campos, Oliver Junge+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2012

Robotic Mechanisms and Dynamics被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多項式コロケーションに基づく求積則を用いて、機械的システムにおける最適制御問題の高次元変分時間離散化を提案する。この手法は、運動量写像やエネルギー挙動といった重要な幾何的構造を保ちながら、計算効率を向上させる。本手法は4次収束を達成し、低次元スキームと比較して著しく計算コストを削減する。

ABSTRACT

We reconsider the variational integration of optimal control problems for mechanical systems based on a direct discretization of the Lagrange-d'Alembert principle. This approach yields discrete dynamical constraints which by construction preserve important structural properties of the system, like the evolution of the momentum maps or the energy behavior. Here, we employ higher order quadrature rules based on polynomial collocation. The resulting variational time discretization decreases the overall computational effort.

研究の動機と目的

• 機械的システムにおける最適制御問題の高次元時間離散化手法を構築し、内在する幾何的構造を保存すること。
• 2次元ルールの代わりに多項式コロケーションに基づく高次元求積則を採用することで、計算コストを低減すること。
• 精度と効率を向上させつつ、運動量写像の進化やエネルギー挙動といった構造保存性を維持すること。
• 数値的に、高次元スキームがより少ないノード数で同等の精度を達成できることを示し、メモリおよびCPU使用量の削減を実現すること。
• 今後の研究の基盤として、適応的次数の変分積分法の構築を準備すること。

提案手法

• 高次元多項式コロケーションを用いて作用積分を近似することで、ラグランジュ＝ダランベールの原理を離散化する。
• 変分原理から導かれる離散的力学的制約を含む有限次元非線形計画問題として最適制御問題を定式化する。
• 離散変分力学に基づくため、シンプレクティック性、運動量写像、エネルギー挙動といった性質を保存する。
• 次数 s の多項式コロケーションは、2s 次の変分積分法をもたらし、1ステップあたりの精度を向上させる。
• 離散系は非線形計画法ソルバー（fmincon）を用いて解き、制約条件およびヤコビ行列は数値的に評価する。
• 適応的ノード配置および可変次数離散化を可能とし、ノード数の削減によって効率性を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元多項式コロケーションは、最適制御問題における変分時間離散化の効率を向上させ得るか？
• RQ2 高次元スキームは、低次元バージョンと同様に構造保存性（例：運動量写像、エネルギー挙動）を保持するか？
• RQ3 実際の応用において、高次元変分離散化の収束速度はどの程度か？
• RQ4 より少ないノード数を用いた高次元スキームと、より多くのノード数を要する低次元スキームとの間で、計算コストにどのような差が生じるか？
• RQ5 離散変分フレームワークから、さらに性能を最適化できる適応的次数離散化を導出できるか？

主な発見

• 数値実験による誤差減少率から、s=2 の場合、多項式コロケーションを用いた変分時間離散化は4次収束を達成することが確認された。
• 制御付き調和振動子の例では、ノード数を2倍にしたごとに、状態変数、制御変数、共役変数の誤差が約1桁減少した。
• s=5（10次元スキーム）を用い、ノード数をたった4つにした場合でも、s=2 で256ノードを要する場合と同等の精度が達成された。制約評価回数は2桁減少した。
• ラグランジュ制約評価回数は、s=2、N=256 の場合に8790万回から、s=5、N=8 の場合に79万6848回にまで低下し、顕著な計算コスト削減が確認された。
• 低次元ケースではラグランジュのヤコビアンに110万回以上の評価が必要だったが、高次元ケースでは約18万8千回にまで減少し、効率性の向上が顕著に現れた。
• 高次元（例：s=5）では機械精度を上回る精度が達成され、高精度算術を用いない限り、さらなる微細化は計算的に無意味であることが示された。