[論文レビュー] Higher-Page Hodge Theory of Compact Complex Manifolds

Dan Popovici, Jonas Stelzig+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Frölicherスペクトル系列の高次のページに一般化された古典的 $\partial\bar{\partial}$-補題を導入するページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体の概念を提示する。この性質の数値的特徴付けを確立し、ブロウアップおよび変形において保存されることを証明し、ケーラー的でも $\partial\bar{\partial}$-多様体でもない多様体、例えばニル多様体やソルバーマニフォールドにまでホッジ理論を拡張する。

ABSTRACT

On a compact $\partial\bar\partial$-manifold $X$, one has the Hodge decomposition: the de Rham cohomology groups split into subspaces of pure-type classes as $H_{dR}^k (X)=\oplus_{p+q=k}H^{p,\,q}(X)$, where the $H^{p,\,q}(X)$ are canonically isomorphic to the Dolbeault cohomology groups $H_{\bar\partial}^{p,\,q}(X)$. For an arbitrary nonnegative integer $r$, we introduce the class of page-$r$-$\partial\bar\partial$-manifolds by requiring the analogue of the Hodge decomposition to hold on a compact complex manifold $X$ when the usual Dolbeault cohomology groups $H^{p,\,q}_{\bar\partial}(X)$ are replaced by the spaces $E_{r+1}^{p,\,q}(X)$ featuring on the $(r+1)$-st page of the Frölicher spectral sequence of $X$. The class of page-$r$-$\partial\bar\partial$-manifolds coincides with the usual class of $\partial\bar\partial$-manifolds when $r=0$ but may increase as $r$ increases. We give two kinds of applications. On the one hand, we give a purely numerical characterisation of the page-$r$-$\partial\bar\partial$-property in terms of dimensions of various cohomology vector spaces. On the other hand, we obtain several classes of examples, including all complex parallelisable nilmanifolds and certain families of solvmanifolds and abelian nilmanifolds. Further, there are general results about the behaviour of this new class under standard constructions like blow-ups and deformations.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上のFrölicherスペクトル系列の高次のページに、古典的 $\partial\bar{\partial}$-補題およびホッジ分解を一般化すること。
• ホッジ分解がドルベールコホモロジーの代わりに $E_r^{p,q}$ を用いて成り立つページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体のクラスを定義し、それらを研究すること。
• ページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性質の数値的特徴付けを、コホモロジー次元の観点から与えること。
• ブロウアップや変形といった標準的な幾何的操作におけるこの性質の挙動を調査すること。
• 複素平行化可能なニル多様体や特定のソルバーマニフォールドを含む、$r \geq 1$ に対してページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-条件を満たす新しい例を構成すること。

提案手法

• ホッジ分解がFrölicherスペクトル系列の $r$-番目のページで成り立つこと、すなわち $H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)$ の代わりに $E_{r+1}^{p,q}(X)$ を用いることで、ページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体を定義する。
• $E_r$-sG 条件を分析するために、$[\alpha]_A \mapsto \{\partial\alpha\}_{E_r}$ で定義される自然な写像 $T_r: H^{n-1,n-1}_A(X,\mathbb{C}) \to E_r^{n,n-1}(X)$ を導入する。
• 多様体が $E_r$-sGG であるための必要十分条件として、$T_r = 0$ であることを証明し、この写像と $E_r$-sG 計量の存在を結びつける。
• 弱因子化定理を用いて、被覆的不変性を、codimension $\geq 2$ の滑らかな中心によるブロウアップに帰着させる。
• Aeppli コホモロジーのブロウアップ下での分解を活用し、中心の次元が $\leq n-2$ のとき、$T_r$ が基本多様体のコホモロジーにのみ依存することを示す。
• 理論を応用して、複素平行化可能なニル多様体やアーベル的ニル多様体を含む例を構成し、これらがすべて $r \geq 0$ に対してページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ホッジ分解および $\partial\bar{\partial}$-補題は、Frölicherスペクトル系列の高次のページに一般化可能か？
• RQ2 コホモロジー次元に関する数値的条件は、ページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性質を特徴付けるか？
• RQ3 ページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性質は、複素構造のブロウアップおよび変形において保存されるか？
• RQ4 $r \geq 2$ に対して、ページ-$(r-1)$-$\partial\bar{\partial}$-多様体でないページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体は存在するか？
• RQ5 ニル多様体やソルバーマニフォールドのような、特定のコンパクト複素多様体は、どの程度ページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-条件を満たすか？

主な発見

• ページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体のクラスは、古典的 $\partial\bar{\partial}$-多様体を一般化したものであり、$r=0$ で等号が成り立つ。
• コンパクト複素多様体が $E_r$-sGG であるための必要十分条件は、写像 $T_r: H^{n-1,n-1}_A(X,\mathbb{C}) \to E_r^{n,n-1}(X)$ が恒等的に消えることである。
• $E_r$-sGG 性質は、弱因子化定理とブロウアップ下でのコホモロジーの分解を用いて、被覆的不変性であることが示された。
• ページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性質は、正則変形および codimension $\geq 2$ の滑らかな中心を持つブロウアップにおいて保存される。
• すべての複素平行化可能なニル多様体は、任意の $r \geq 0$ に対してページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体であり、特定のソルバーマニフォールドおよびアーベル的ニル多様体の族に対しても同様の条件が成り立つ。
• 論文は、$r \geq 2$ に対してページ-$(r-1)$-$\partial\bar{\partial}$-多様体でないページ-$r$-$\partial\bar{\partial}$-多様体の構成を未解決のままとしており、このような例が存在する可能性が高いと示唆している。