[論文レビュー] Higher power squeezed states, Jacobi matrices, and the Hamburger moment problem

Bengt Nagel|ArXiv.org|Nov 17, 1997

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ボゴリューブ変換されたk次アニヒレーション演算子の固有状態として、高次のスリッピング状態を導入し、フォック状態係数に対する3項再帰関係を導出する。k ≥ 3の場合、関連する対称的演算子は、未定のハムバーグル・モーメント問題に関連するジャコビ行列を形成する。これは、互いに分離されたスペクトルを持つ無限に多くの自己随伴拡張が存在することを示唆するが、k=2を超える明示的解が存在しないにもかかわらず、スリッピング状態は依然として適切に定義されている。

ABSTRACT

k:th power (amplitude-)squeezed states are defined as the normalized states giving equality in the Schroedinger-Robertson uncertainty relation for the real and imaginary parts of the k:th power of the one-mode annihilation operator. Equivalently they are the set of normalized eigenstates (for all possible complex eigenvalues) of the Bogolubov transformed "k:th power annihilation operators". Expressed in the number representation the eigenvalue equation leads to a three term recursion relation for the expansion coefficients, which can be explicitly solved in the cases k = 1, 2. The solutions are essentially Hermite and Pollaczek polynomials, respectively. k = 1 gives the ordinary squeezed states, i.e. displaced squeezed vacua. For k equal to or larger than three, where no explicit solution has been found, the recursion relation for the symmetric operator given by the real part of the k:th power of the annihilation operator defines a Jacobi matrix corresponding to a classical Hamburger moment problem, which is undetermined. This implies that the operator has an infinity of self-adjoint extensions, all with disjoint discrete spectra. The corresponding squeezed states are well-defined, however.

研究の動機と目的

• k次（振幅）スリッピング状態を、1モードのアニヒレーション演算子のk乗の実部と虚部におけるシュレーディンガー＝ロバートソンの不確定性関係に等号が成立する正規化状態として定義・特徴づけること。
• これらの状態の固有値方程式がフォック基底でどのように表現されるかを調査し、展開係数に対する3項再帰関係を導出すること。
• k ≥ 3の場合、明示的解が存在しないが、その結果として得られるジャコビ行列が自己随伴拡張問題に与える影響を分析すること。
• 演算子構造と古典的ハムバーグル・モーメント問題を結びつけ、高次のkに対してその決定性を評価すること。
• モーメント問題が未決定であっても、自己随伴拡張が無限に存在する状況においても、高次のスリッピング状態が物理的に適切に定義されていることを確立すること。

提案手法

• 任意の複素固有値に対して、ボゴリューブ変換されたk次アニヒレーション演算子の正規化固有状態としてk次スリッピング状態を定義する。
• 固有値方程式をフォック基底で表現し、状態係数に対する3項線形再帰関係を導出する。
• k = 1およびk = 2の場合に再帰関係を明示的に解き、それぞれがエルミート多項式およびポラーツェク多項式に対応することを特定する。
• k ≥ 3の場合、k次アニヒレーション演算子の実部によって形成される対称的演算子をジャコビ行列と解釈する。
• ハムバーグル・モーメント問題の理論を適用して、このジャコビ行列の自己随伴拡張を分析し、問題が未決定であることを示す。
• 演算子が互いに分離された離散スペクトルを持つ無限に多くの自己随伴拡張を有することを結論づけるが、対応するスリッピング状態は依然として適切に定義されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3の場合におけるk次スリッピング状態の数学的構造は何か？また、k=1およびk=2の既知の状況とはどのように異なるか？
• RQ2 高次のスリッピング状態の固有値方程式は、フォック表現においてどのように再帰関係に翻訳されるか？
• RQ3 k次アニヒレーション演算子の実部から導かれるジャコビ行列と古典的ハムバーグル・モーメント問題との関係は何か？
• RQ4 k次スリッピング状態演算子に関連するハムバーグル・モーメント問題が決定的または不決定的となる条件は何か？
• RQ5 モーメント問題が未決定であり、演算子が無限に多くの自己随伴拡張を持つ場合でも、高次のスリッピング状態を物理的に適切に定義できると考えられるか？

主な発見

• k=1およびk=2の場合、高次のスリッピング状態のフォック空間係数は明示的に解けることがわかり、それぞれがエルミート多項式およびポラーツェク多項式に対応する。
• k ≥ 3の場合、状態係数の再帰関係は、k次アニヒレーション演算子の実部に関連するジャコビ行列を導く。
• このジャコビ行列に対応するハムバーグル・モーメント問題は未決定であり、演算子の無限に多くの自己随伴拡張が存在することを示唆する。
• すべての自己随伴拡張は互いに分離された離散スペクトルを持つため、演算子には豊かで一意でないスペクトル構造がある。
• 一意な自己随伴拡張が存在しないにもかかわらず、高次のスリッピング状態は依然として適切に定義された量子状態のままである。
• これらの結果は、解ける場合を超えて高次のスリッピング状態を厳密に数学的に扱うフレームワークを確立し、量子光学と古典的モーメント問題を結びつける。