[論文レビュー] Higher rank local systems in Lagrangian Floer theory

Momchil Konstantinov|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、単調なシンプレクティック多様体における高ランク局所系へのラグランジュ・フローア理論の拡張を試み、フローアコホモロジーを定義する主な障害として、マスロフ指数2のディスクを同定する。未遮断部分複体（特に中心的およびモノドロミー・フローア複体）を導入し、複素射影空間 ℂP³ 内のチアン・ラグランジュ部分多様体に対して、𝔽₂ 上のランク2局所系について、フローアコホモロジーが消えないことを構成的に示した。これにより、マスロフ指数2のディスクが存在するにもかかわらず、ハミルトニアン・アイソトピーによる移動が不可能であることが示された。

ABSTRACT

We extend Floer theory for monotone Lagrangians to allow coefficients in local systems of arbitrary rank. Unlike the rank 1 case, this is often obstructed by Maslov 2 discs. We study exactly what the obstruction is and define some natural unobstructed subcomplexes. To illustrate these constructions we do some explicit calculations for the Chiang Lagrangian $L_Δ \subseteq \mathbb{C}P^3$. For example, we equip $L_Δ$ with a particular rank 2 local system $W$ over the field with 2 elements such that the resulting Floer complex $CF^*(W,W)$ is unobstructed despite the presence of Maslov 2 discs. We compute that the cohomology $HF^*(W,W)$ is non-zero and deduce that the Chiang Lagrangian cannot be disjoined from $\mathbb{R}P^3$ by a Hamiltonian isotopy.

研究の動機と目的

• この論文の目的は、これまで遮断されていた高ランク局所系を用いたフローアコホモロジーを、単調な設定において一般化することである。
• 高ランク局所系を用いたフローアコホモロジーを定義する際の正確な障害を同定し、それが非自明なモノドロミーを持つマスロフ指数2のディスクに起因することを示す。
• 可能に遮断されたフローア複体内に、未遮断部分複体（中心的およびモノドロミー・フローア複体）を体系的に定義する。
• 理論をチアン・ラグランジュ部分多様体 L∆ ⊂ ℂP³ に適用し、𝔽₂ 上のランク2局所系を用いて、フローアコホモロジーを明示的に計算する。
• 主な目的は、マスロフ指数2のディスクが存在する状況においても、非自明なフローアコホモロジーが維持され得ることを示し、それによって非移動性が保証されることを示すことである。

提案手法

• 論文は、古典的な m₀ 不変量を高ランク局所系へ一般化した障害セクション m₀(L, E) ∈ H⁰(L, End(E)) を導入し、d² = 0 が成立しない障害を捉える。
• 完全なフローア複体内の最大未遮断部分複体として中心的フローア複体を定義し、微分の定義が正当化されることを保証する。
• ラグランジュ部分多様体が自己相互作用を示す場合に、モノドロミー表現を用いて部分複体を定義する、さらに小さな部分複体としてのモノドロミー・フローア複体を導入する。
• ピアール複体の構成を用いて理論をチアン・ラグランジュ部分多様体に適用し、モース・ボット技法とホロモーフィック・ディスクの寄与を用いて、フローアコホモロジーの効率的計算を可能にする。
• 𝔽₂ 上の12次元二面体群の表現論を用いて局所系を分類し、モノドロミー作用を分析する。
• 特定のランク2局所系 W に対して、障害セクションが消えることを証明し、フローア複体が未遮断であり、そのコホモロジーが非ゼロであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調な設定において、高ランク局所系を用いたフローアコホモロジーを定義する際の正確な障害は何か？
• RQ2 遮断される可能性のあるフローア複体内に、体系的に未遮断部分複体を定義できるか？
• RQ3 高ランク局所系を用いた非自明なフローアコホモロジーは、マスロフ指数2のディスクが存在する状況においても、ラグランジュ部分多様体の非移動性を示唆するか？
• RQ4 チアン・ラグランジュ部分多様体のような非自明なラグランジュ部分多様体に対して、高ランク局所系を用いて明示的な計算が可能か？
• RQ5 局所系のモノドロミーは、微分におけるホロモーフィック・ディスクの寄与とどのように作用するか？

主な発見

• チアン・ラグランジュ部分多様体 L∆ ⊂ ℂP³ に対して、特定のランク2局所系 W を 𝔽₂ 上に構成し、障害セクション m₀(L∆, W) が消えることを示した。
• これにより得られるフローア複体 CF∗(W, W) は未遮断である。つまり、マスロフ指数2のディスクが存在するにもかかわらず、d² = 0 が成立する。
• コホモロジー HF∗(W, W) は非ゼロであることが計算され、特定の次数で H∗(L∆; 𝔽₂) ⊗ 𝔽₂ に同型であることが示された。
• HF∗(W, W) が非ゼロであることから、L∆ はハミルトニアン・アイソトピーによって RP³ から移動できないことが示された。
• この構成により、高ランク局所系は、ランク1系では失敗する幾何的障害（非移動性）を検出できることを示した。
• 論文は、𝔽₂ 上で次元 > 8 の Γ∆-表現が、すべて分解不能でないことを証明し、これにより L∆ 上の関連する局所系を分類するのを支援した。