[論文レビュー] Higher Rank TQFT Representations of SL(2,Z) are Reducible

Qi Chen, Thomas Kerler|ArXiv.org|Jun 26, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、N > 2 における量子 PSU(N) から得られる SL(2,ℤ) の高ランク TQFT 表現が、一般に可約であることを示しており、表現ラベルとその共役を入れ替える ℤ/2 対称性を用いた明示的な分解が行われる。量子 PSU(3) で r ≡ 2 mod 3 である素数位数の場合、PSU(2) 表現に同型な非可約和成分が特定され、初期のパリティ分割を超えた可約性が証明される。

ABSTRACT

In this article we give examples which show that the TQFT representations of the mapping class groups derived from quantum SU(N) for N>2 are generically decomposable. One general decomposition of the representations is induced by the symmetry which exchanges SU(N) representation labels by their conjugates. The respective summands of a given parity are typically still reducible into many further components. Specifically, we give an explicit basis for an irreducible direct summand in the SL(2,Z) representation obtained from quantum PSU(3) when the order of the root of unity is a prime r=2 mod 3. We show that this summand is isomorphic to the respective PSU(2) representation.

研究の動機と目的

• sl₂ からより高ランクのリー代数に移行する際、マッピングクラス群の TQFT 表現の分解構造を調査すること。
• N > 2 における量子 PSU(N) から得られる TQFT 表現が、sl₂ の場合と同様に非可約のままであるかどうかを特定すること。
• r ≡ 2 mod 3 のとき、量子 PSU(3) からの SL(2,ℤ) 表現における明示的な和成分を同定すること。
• 特定の単位根位数における PSU(3) TQFT 内で、PSU(2) 表現が部分表現として現れることを示すこと。
• 初期の ℤ/2-グレーディングは、より深い可約性構造の第一歩にすぎないことを確立すること。

提案手法

• 量子群のウェイルアローケの表現ラベルにおける共役作用から誘導される ℤ/2-作用を用いる。
• U_ζ(𝔰𝔩_N)′ からの TQFT 構成を用い、Y-部分圏による PSU(N) 表現への制限を適用する。
• スケイン理論的技法とモジュラー S 行列を用いて、PSU(3) と PSU(2) からの SL(2,ℤ) 表現を比較する。
• 有限体上の文字和とガウス和を用いて、PSU(3) と PSU(2) 表現の S 行列の比例関係を証明する。
• ウェイルアローケの重みでラベル付けされたベクトル空間上での SL(2,ℤ) の生成元 S と T の作用を分析する。
• レジェンドル記号と二次ガウス和を含む数論的恒等式を適用し、行列成分の直交性および比例性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N > 2 における量子 PSU(N) から得られる SL(2,ℤ) の TQFT 表現は、sl₂ の場合と同様に非可約であるか？
• RQ2 表現ラベルに対する共役対称性によって誘導される ℤ/2-グレーディングは、SL(2,ℤ) 表現の非自明な分解をもたらすか？
• RQ3 r ≡ 2 mod 3 である素数位数における PSU(3) TQFT に、非可約な PSU(2) 表現が部分表現として埋め込まれるか？
• RQ4 r ≡ 2 mod 3 のとき、量子 PSU(3) TQFT における SL(2,ℤ) 表現の分解構造はどのように特定されるか？
• RQ5 genus 1 での可約性は、より高次のマッピングクラス群の表現へとどの程度拡張可能か？

主な発見

• N > 2 かつ k > 2N で gcd(k, N) = 1 である ζ を位数とする場合、量子 PSU(N) TQFT は表現ラベルの共役対称性により ℤ/2-グレーディングを持つ。
• r ≡ 2 mod 3 である素数位数における量子 PSU(3) からの SL(2,ℤ) 表現には、量子 PSU(2) 表現に同型な非可約和成分が含まれる。
• PSU(3) と PSU(2) 表現の S 行列は比例しており、PSU(2) 表現が部分表現であることが確認される。
• r が奇素数であるとき、PSU(2) 表現に対応する和成分は非可約である。これは sl₂ の場合に用いられた同一の議論により示される。
• 分解は ℤ/2-グレーディングによって尽きない。各グレーディング成分内にもさらなる可約性が生じる。
• r ≡ 1 mod 3 の場合、例として r = 7 では PSU(3) 表現は次元 1 と 4 の和成分に分解されるが、PSU(2) 表現（次元 3）は部分表現として現れない。これは r ≡ 2 mod 3 が必要条件であることを示している。