[論文レビュー] Higher signatures for the derived Witt groups

Jeremy Jacobson|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、二次形式の符号から高次のグローバル符号を構成することで、実代数的多様体の導来Witt群とその実点の単体的コホモロジーを関連付ける。2を逆数にした導来Witt群に対して、アティyah–ヒルツブルフスペクトル系列を確立し、そのランクをベッチ数の観点から評価する。また、カルービのトーショントリビューションの有界性に関する問いに答え、整数係数でのmod 2符号定理の類似を証明する。

ABSTRACT

Let $X$ be an algebraic variety over the field of real numbers $\mathbb{R}$. We use the signature of a quadratic form to produce higher global signatures relating the derived Witt groups of $X$ to the singular cohomology of the real points $X(\mathbb{R})$ with integer coefficients. We also study the global signature ring homomorphism and use the powers of the fundamental ideal in the Witt ring to prove an integral version of a theorem of Raman Parimala and Jean Colliot-Thelene on the mod 2 signature. Furthermore, we obtain an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence for the derived Witt groups of $X$ with 2 inverted. Using this spectral sequence, we provide a bound on the ranks of the derived Witt groups of $X$ in terms of the Betti numbers of $X(\mathbb{R})$. We apply our results to answer a question of Max Karoubi on boundedness of torsion in the Witt group of $X$. Throughout the article, the results are proved for a wide class of schemes over an arbitrary base field of characteristic different from 2 using real cohomology in place of singular cohomology.

研究の動機と目的

• 実代数的多様体の導来Witt群とその実点の単体的コホモロジーとの間の関係を、二次形式の符号を用いて確立すること。
• グローバル符号環準同型を研究し、mod 2符号に関する結果を整数的設定に拡張すること。
• 2を逆数にした導来Witt群に対して、アティyah–ヒルツブルフスペクトル系列を構成すること。
• 導来Witt群のランクを、実点空間のベッチ数の観点から評価すること。
• マックス・カルービが提起した、実多様体のWitt群におけるトーショントリビューションの有界性に関する問いに答えること。

提案手法

• 二次形式の符号を用いて、導来Witt群から整数係数の単体的コホモロジーへの高次のグローバル符号を定義する。
• Witt環における基本的理想の累乗を用いて、mod 2符号に関するラマーン・パリマラ–コリオ・テレンの定理の整数的類似を証明する。
• 2を逆数にした導来Witt群に対して、任意の体上の単体的コホモロジーの代わりに実コホモロジーを用いることで、アティyah–ヒルツブルフスペクトル系列を構成する。
• スペクトル系列を用いて、実点空間のベッチ数の観点から導来Witt群のランクに対する上界を導出する。
• 実多様体からの結果を、特性≠2の任意の体上の広いクラスのスキームへと、単体的コホモロジーの代わりに実コホモロジーを用いることで拡張する。
• グローバル符号環準同型を分析し、代数的K理論に類似する不変量と実点の位相的不変量との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、二次形式の符号から高次の符号を構成し、導来Witt群と実点の単体的コホモロジーとを関連付けることができるか？
• RQ2 導来Witt群の文脈において、mod 2符号に関するラマーン・パリマラ–コリオ・テレンの定理の整数的類似は何か？
• RQ3 2を逆数にした導来Witt群に対して、アティyah–ヒルツブルフスペクトル系列を確立できるか？また、それによってその構造に何が明らかになるか？
• RQ4 実点空間のベッチ数は、導来Witt群のランクをどの程度まで評価できるか？
• RQ5 マックス・カルービが提起した問い、すなわち、実代数的多様体のWitt群におけるトーショントリビューションは一様に有界であるか？

主な発見

• 本稿は、整数係数の実点の単体的コホモロジーへのグローバル符号準同型を導来Witt群から構成する。
• Witt環における基本的理想の累乗を用いて、mod 2符号定理の整数的類似を証明する。
• 2を逆数にした導来Witt群に対して、アティyah–ヒルツブルフスペクトル系列を確立し、導来Witt群へ収束する。
• スペクトル系列により、実点空間のベッチ数の観点から導来Witt群のランクに対する評価が得られる。
• 結果として、マックス・カルービの問いに答え、実多様体のWitt群におけるトーショントリビューションが一様に有界であることを示す。
• 実コホモロジーを単体的コホモロジーの代わりに用いることで、特性≠2の任意の体上のスキームへとフレームワークを一般化する。