[論文レビュー] Higher Spin Quantum Fields as Twisted Dirac Fields

Rainer Muehlhoff|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、全球的因果的 Lorentz 時空上で、特徴的な Dirac 型作用素の解として高スピン量子場を構成する手法を提案する。予め正規的双曲型作用素の理論を用い、一意的な Green 関数と適切に定式化された初期値問題を保証する。主な結果は、スピン束に標準的なヒルベルト内積を定義可能であるが、コンパクト台付き初期データ上の誘導内積は正定値でないため、スピン 1/2 の場合と同様の CAR 代数的量子化が阻害されることである。

ABSTRACT

We pursue the idea of constructing higher spin fields as solutions to twisted Dirac operators. As general results we find that twisted prenormally hyperbolic first order operators (such as the Dirac operator) on globally hyperbolic Lorentzian spacetime manifolds have unique advanced and retarded Green's functions and their Cauchy problem is well-posed. The space of compactly supported Cauchy data can be equipped with a naturally induced Hermitian but generally indefinite product, which is shown to be independent of the underlying choice of Cauchy hypersurface. As a special result, we study one particular example of twisted Dirac operator for Fermionic fields of higher spin. It allows a canonical Hermitian product on the spinor bundle, but the resulting product on the space of compactly supported Cauchy data fails positivity. Thus, it is shown that this construction does not allow quantization by forming a C*-algebra representation of the canonical anti-commutation relations in the well known fashion generalizing the spin 1/2 construction by Dimock (1982). This document is equipped with an introduction to the formalism of 2-spinors on curved spacetimes in an invariant fashion using abstract index notation.

研究の動機と目的

• スピン 1/2 の量子場の Dirac 型作用素による構成を、ねじれた予め正規的双曲型作用素を用いて高スピン場へ一般化すること。
• コンパクト台付き初期データの空間に、初期データ超曲面の選択に依存しないヒルベルト内積を定義できるかどうかを調査すること。
• 得られる初期データ上の内積が正定値であるかどうかを特定し、標準的な C*-代数的 CAR 量子化が可能かどうかを判断すること。
• 特定の高スピンフェルミオンに対するねじれた Dirac 型作用素を分析し、スピン束に標準的なヒルベルト束計量を持つが、初期データ上では不定値な内積を生じることを明らかにすること。
• 抽象的インデックス記法を用いた形式的枠組みを確立し、曲がった時空上のスピン場の数学的厳密性と物理的直感性を統合すること。

提案手法

• 全球的因果的 Lorentz 時空上で、予め正規的双曲型の一次微分作用素を用いて高スピン場を定義する。
• 予め正規的双曲型作用素に対する先進的および遅延的 Green 関数理論を適用し、初期値問題が適切に定式化されることを保証する。
• 束計量から誘導される内積を用いて、コンパクト台付き初期データの空間にヒルベルト内積を構成し、初期データ超曲面の選択に依存しないことを証明する。
• 抽象的インデックス記法を用いてスピン場および作用素を不変的に表現し、数学的および物理的記法の比較を容易にする。
• 一般化された Dirac 共役から導かれる標準的なヒルベルト束計量を持つ特定の高スピン Dirac 型作用素を分析する。
• 初期データ上に誘導される内積が不定値であることを示し、pre-Hilbert 空間を形成できないため、標準的な CAR 代数的量子化が不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高スピン量子場は、全球的因果的構造を持つ曲がった時空上で、ねじれた Dirac 型作用素の解として一貫して構成可能か？
• RQ2 このような場のコンパクト台付き初期データの空間は、初期データ超曲面の選択に依存しないヒルベルト内積を備えているか？
• RQ3 初期データ上に誘導されるヒルベルト内積が正定値であるかを特定し、CAR 関係を用いた標準的な C*-代数的量子化が可能か？
• RQ4 スピン束に標準的なヒルベルト計量が存在する場合（特定の高スピン Dirac 型作用素の例において）、初期データ上のヒルベルト内積の性質は何か？
• RQ5 抽象的インデックス記法は、曲がった時空上でのスピン場およびその微分作用素の記述において、不変性と明確性をどのように維持できるか？

主な発見

• 全球的因果的時空上で定義されたねじれた予め正規的双曲型作用素は、一意的な先進的および遅延的 Green 関数を有し、初期値問題が適切に定式化される。
• コンパクト台付き初期データの空間は、初期データ超曲面の選択に依存しないヒルベルト内積を備え、スピン 1/2 の場合に一般化される。
• 特定の高スピン Dirac 型作用素に対して、一般化された Dirac 共役から導かれる標準的なヒルベルト束計量がスピン束上に存在する。
• コンパクト台付き初期データの空間に誘導されるヒルベルト内積は不定値であり、正定値ではない。
• その結果、フェルミオン場の標準的な C*-代数的 CAR 代数の構成は不可能となり、Dimock (1982) フレームワークにおける直接的な量子化が不可能になる。
• 抽象的インデックス記法を用いた形式的枠組みにより、同時に参照系変換に対して不変性が保たれ、ε、σ、γ などのテンソルの幾何的意味が保持される。