[論文レビュー] Higher symmetry and gapped phases of gauge theories

Anton Kapustin, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2013

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 30

ひとこと要約

本論文は、有限2群に基づく一般化された位相的量子場理論（TQFT）を導入し、ヒッグス化とコンfinementを併せ持つギャップのある物質の位相的相を記述する。これはDijkgraaf-Witten理論を拡張したものであり、次元2〜4における位相的作用と観測量を分類し、それらの相が高次対称性—特に電磁ゲージ群を含む2群対称性—によって保護されることを示している。分類は群コhomologyと二次形式を用いてなされる。

ABSTRACT

We study topological field theory describing gapped phases of gauge theories where the gauge symmetry is partially Higgsed and partially confined. The TQFT can be formulated both in the continuum and on the lattice and generalizes Dijkgraaf-Witten theory by replacing a finite group by a finite 2-group. The basic field in this TQFT is a 2-connection on a principal 2-bundle. We classify topological actions for such theories as well as loop and surface observables. When the topological action is trivial, the TQFT is related to a Dijkgraaf-Witten theory by electric-magnetic duality, but in general it is distinct. We propose the existence of new phases of matter protected by higher symmetry.

研究の動機と目的

• ヒッグス化とコンfinementの両方を示すゲージ理論のギャップのある位相を、標準的なDijkgraaf-Witten TQFTを超えて体系的に分類すること。
• 有限2群に基づく格子モデルを構築し、1形式および2形式ゲージ場を組み込むことで、Dijkgraaf-Witten理論を一般化すること。
• 次元2、3、4におけるこのような理論の位相的作用および観測量（特に表面演算子）を同定および分類すること。
• ギャップのある短距離もつれの位相が、通常の全局的対称性ではなく、高次対称性、特に2群対称性によって保護されることを提唱すること。
• 群コhomologyデータの分類を通じて、これらのTQFTと対称性保護位相の間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 有限2群（G, H, t, α）に基づく連続的および格子TQFTを定式化し、Gを電磁ゲージ群、Hを磁気ゲージ群とし、t: H → Gおよびα: G → Aut(H)が整合性条件を満たすようにする。
• 主2束上の2接続を用い、群コhomology類による位相的作用を定義することで、Π1（電磁ゲージ群）およびΠ2（磁気ゲージ群）を持つ格子ゲージモデルを構築する。
• 次元2〜4における位相的作用を分類する：2次元ではDijkgraaf-Witten理論に還元される。3次元では、H^3(Π1, U(1))に属する次数3クラスと、H^1(Π1, ˆΠ2)に属する次数1クラスに依存する。4次元では、H^4(Π1, U(1))に属する次数4クラス、H^2(Π1, ˆΠ2)に属する次数2クラス、およびΠ2に値をとる二次関数を含む。
• 電磁双対性を用い、3次元における2形式場をˆΠ2に値をとるスカラー場に双対化し、4次元では最初の2つの作用項が非ゼロのとき、2形式場をゲージ場に双対化する。
• 分類空間BGにおけるセレール・スペクトル系列を適用し、コホモロジー構造を解析し、関連する微分とその物理的解釈を同定する。
• TQFTが2群対称性によって保護される位相と関係づけるために、このようなTQFTの分類が2群対称性によって保護される位相の分類に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒッグス化とコンfinementの両方を示すゲージ理論のギャップのある位相を、標準的なDijkgraaf-Witten理論を超えて体系的に分類する方法は何か？
• RQ2 有限2群に基づくTQFTの次元2、3、4における位相的作用の構造は何か？
• RQ3 ループおよび表面観測量—特に2形式フラックスを測定するもの—は、このようなTQFTでどのように振る舞うか？
• RQ4 電磁双対性を用いて、低次元における2形式場をスカラー場またはゲージ場に双対化できるか？
• RQ5 TQFTの位相的不変量の観点から、Postnikov類β ∈ H^3(BΠ1, Π2)の物理的解釈は何か？

主な発見

• 2次元では、TQFTは電磁ゲージ群Π1の標準的なDijkgraaf-Witten理論に還元され、磁気群Π2からの寄与は存在しない。
• 3次元では、位相的作用は2つのパラメータに依存する：H^3(Π1, U(1))に属する次数3コホモロジークラスと、H^1(Π1, ˆΠ2)に属する次数1コホモロジークラス（ここでˆΠ2 = Hom(Π2, U(1))）。
• 4次元では、作用は3つのパラメータに依存する：H^4(Π1, U(1))に属する次数4クラス、H^2(Π1, ˆΠ2)に属する次数2クラス、およびΠ2に値をとるU(1)への二次関数。
• 3次元における2形式場は、ˆΠ2に値をとるスカラー場に双対化可能であり、これは2形式自由度とスカラー自由度の間の双対性を示している。
• 4次元では、作用の最初の2つの項のみが非ゼロのとき、2形式場はゲージ場に双対化可能であり、これは標準的なゲージ理論への双対性を示唆する。
• TQFTは、磁気群Π2のみが非自明な特別な場合にウォーカー＝ワングモデルと関係づけられ、任意粒子的位相的秩序の既知のモデルと関連している。