[論文レビュー] HIGHER TOPOLOGICAL COMPLEXITY AND HOMOTOPY DIMENSION OF CONFIGURATION SPACES ON SPHERES

Ibai Basabe, Yuli B. Rudyak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Farberの位相的複雑性を高階不変量 TCₙ(X) に拡張し、Lusternik-Schnirelmann次元と対角埋め込みのカップ長さとの関係を確立する。球面の直積、複素射影空間およびクaternion的射影空間の TCₙ を計算し、配置空間をモデル化するための細胞的分層空間を導入。球面上の配置空間のホモトピー次元が (n−1)(k−1)+1 であることを示す。

ABSTRACT

Yu. Rudyak has recently extended Farber's notion of topological complexity by defining, for n ≥ 2, the n th topolog- ical complexity TCn(X) of a path-connected space X—Farber's original notion is recovered for n = 2. In this paper we develop further the properties of this extended concept, relating it to the Lusternik-Schnirelmann category of cartesian powers of X, as well as to the cup-length of the diagonal embedding X → X n . We com- pute the numerical values of TCn for products of spheres, closed 1-connected symplectic manifolds (e.g. complex projective spaces), and quaternionic projective spaces. We explore the symmetrized version of the concept (TC S (X)) and introduce a new symmetriza- tion (TC �(X)) which is a homotopy invariant of X. We obtain a (conjecturally sharp) upper bound for TC S (X) when X is a sphere. This is attained by introducing and studying the idea of cellular stratified spaces, a new concept that allows us to import techniques from the theory of hyperplane arrangements in order to construct finite CW complexes of the lowest possible dimension modelling, up to equivariant homotopy, configuration spaces of ordered distinct points on spheres—our models are in fact simplicial complexes. In particular, we show that the configuration space of n points (either ordered or unordered) in the k-dimensional sphere has homotopy dimension (n − 1)(k − 1) + 1.

研究の動機と目的

• n ≥ 2 に対して、Farberの位相的複雑性の概念を n 階の不変量 TCₙ(X) に拡張すること。
• TCₙ(X) が Xⁿ のLウスティック＝シュナイレルマン次元および対角埋め込み X → Xⁿ のカップ長さとどのように関係するかを明らかにすること。
• 球面の直積、閉じた 1-連結なシンプレクティック多様体（例：複素射影空間）、クaternion的射影空間の TCₙ を計算すること。
• TCₙ(X) の対称化されたバージョンを導入・研究すること。特に、X のホモトピー不変量である新しいバージョン TC̃(X) を定義すること。
• 細胞的分層空間を用いて、X が球面の場合に TC̃(X) の（予想的に鋭い）上界を確立すること。

提案手法

• n ≥ 2 に対して、Farberの元々の TC(X) の一般化として n 階の位相的複雑性 TCₙ(X) を導入・発展させること。
• TCₙ(X) が Xⁿ のLウスティック＝シュナイレルマン次元および対角写像 X → Xⁿ のカップ長さと関係することを示すこと。
• 球面上の順序付き相異なる点の配置空間をモデル化するための、特に単体的複体としての有限 CW 複体を構成すること。その際、細胞的分層空間の概念を用いる。
• 超平面配置理論の技術を応用し、同相的ホモトピー型までに限定して、配置空間の最小次元モデルを構築すること。
• 細胞的分層構造を用いてホモトピー次元の上限を導出し、特定の多様体における TCₙ 値を計算すること。
• X のホモトピー不変量である新しい対称化バージョン TC̃(X) を定義し、球面に対してより鋭い上界を得ることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面の直積、複素射影空間、クaternion的射影空間の TCₙ(X) の値は何か？
• RQ2 n 階の位相的複雑性 TCₙ(X) は、Xⁿ のLウスティック＝シュナイレルマン次元および対角埋め込みのカップ長さとどのように関係するか？
• RQ3 TCₙ(X) の対称化されたバージョンを X のホモトピー不変量として定義できるか？その性質は何か？
• RQ4 k 次元球面上の n 個の順序付き相異なる点の配置空間のホモトピー次元は何か？
• RQ5 TC̃(Sᵏ) の上界が（予想的に）鋭いかどうか、またそれが細胞的分層空間を用いて達成可能か？

主な発見

• k 次元球面上の n 個の順序付き相異なる点の配置空間のホモトピー次元は (n−1)(k−1)+1 である。
• 球面の直積、閉じた 1-連結なシンプレクティック多様体（例：複素射影空間）、クaternion的射影空間の TCₙ が明示的に計算された。
• X のホモトピー不変量である新しい対称化バージョン TC̃(X) が導入され、TC̃(Sᵏ) の（予想的に鋭い）上界を提供する。
• 配置空間を同相的ホモトピー型までに限定して、最小次元の単体的複体を用いたモデル化を可能にする細胞的分層空間の概念が発展された。
• 超平面配置の技術が、球面上の配置空間の有限モデルを構築するために効果的に導入された。
• 本稿では、TCₙ(X) と対角埋め込み X → Xⁿ のカップ長さとの関係を確立し、古典的代数的位相幾何学的不変量と結びつけることを達成した。