[論文レビュー] Higher topological cyclic homology

Morten Brun, Gunnar Carlsson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、被覆の族を用いて可換環スペクトルの被覆ホモロジーを導入し、位相的循環ホモロジー（TC）を一般化する。TCは円の向きを保つ同一型写像を介して特別な場合として得られ、繰り返し位相的ホッホシュタイナー・ホモロジーを用いてトーラスへと枠組みを拡張し、反復代数的K理論から被覆ホモロジーへのトレース写像を提供することで、J.ローゲンスのレッドシフト予想の研究を支援する。

ABSTRACT

We introduce the notion of of a commutative ring spectrum with respect to certain families of coverings of topological spaces. The construction of covering homology is extracted from Bokstedt, Hsiang and Madsen's topological cyclic homology. In fact covering homology with respect to the family of orientation preserving isogenies of the circle is equal to topological cyclic homology. Our basic tool for the analysis of covering homology is a cofibration sequence involving homotopy orbits and a restriction map similar to the restriction map used in Bokstedt, Hsiang and Madsen's construction of topological cyclic homology. Covering homology with respect to families of isogenies of a torus is constructed from iterated topological Hochschild homology. It receives a trace map from iterated algebraic K-theory and the hope is that the rich structure, and the calculability of covering homology will make covering homology useful in the exploration of J. Rognes' ``red shift conjecture''.

研究の動機と目的

• 位相的被覆の族を用いて可換環スペクトルの一般化されたホモロジー理論を構築すること。
• 円の向きを保つ同一型写像を介して、位相的循環ホモロジーを被覆ホモロジーの特別な場合として回復すること。
• 繰り返し位相的ホッホシュタイナー・ホモロジーを用いて、トーラスへの枠組みの拡張とその代数的K理論との関係を調査すること。
• J.ローゲンスのレッドシフト予想を調査するのに有用な計算可能で構造的なホモロジー理論を提供すること。

提案手法

• ホモトピー軌道と制限写像を含むコイデント列を用いて被覆ホモロジーを構成し、Bökstedt、Hsiang、MadsenのTC構成に類似した手法を採用する。
• トーラスの同一型写像の族に関して被覆ホモロジーを定義し、反復位相的ホッホシュタイナー・ホモロジーを基本的な入力として活用する。
• 反復代数的K理論から被覆ホモロジーへのトレース写像を活用し、K理論とホモトピー的不変量との橋渡しを実現する。
• 制限写像の技術を応用して、被覆ホモロジーと既知の位相的循環ホモロジー構造との関係を関係づける。
• コイデント列を用いて被覆ホモロジーのホモトピー的構造を分析し、計算ツールを抽出する。
• アーベル多様体の同一型写像から生じる被覆の族に注目し、任意の被覆族への枠組みの一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的循環ホモロジーは、より広範な被覆ホモロジー枠組みの特別な場合としてどのように回復可能か？
• RQ2 反復位相的ホッホシュタイナー・ホモロジーから、トーラス上の被覆ホモロジーがどのような構造を引き継ぐか？
• RQ3 反復代数的K理論からのトレース写像は、レッドシフト予想の文脈において被覆ホモロジーとどのように作用するか？
• RQ4 被覆ホモロジーを定義するコイデント列において、制限写像は果たす役割は何か？
• RQ5 被覆ホモロジーは、計算可能な方法で環スペクトルの代数的K理論を計算または予測するために利用可能か？

主な発見

• 円の向きを保つ同一型写像に関する被覆ホモロジーは、位相的循環ホモロジーと同型である。
• トーラス上の被覆ホモロジーは反復位相的ホッホシュタイナー・ホモロジーから構成され、理論の範囲が拡張される。
• 反復代数的K理論から被覆ホモロジーへのトレース写像が存在し、K理論とこの新しいホモロジー理論を結ぶ。
• ホモトピー軌道と制限写像を含むコイデント列は、被覆ホモロジーの分析に重要な計算的・構造的ツールを提供する。
• この枠組みは、レッドシフト予想を調査するのに適した豊富な代数的およびホモトピー的構造を提供する。
• 円をより一般な被覆族（トーラスのものも含む）に置き換えることで、位相的循環ホモロジーが一般化される。