[論文レビュー] Higher Topos Theory

Jacob Lurie|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 1,021

ひとこと要約

この論文は、現代のホモトピー理論および高階圏論の基礎枠組みとしてのハイパーカテゴリカル理論を展開し、∞-圏（準カテゴリ）を導入し、モデル圏と局所化を用いてその性質を確立する。主な貢献は、普遍的性質を持つ高階トポスとしての体系的な理論の構築であり、グロタンディークのトポス理論を高階圏へ一般化するものである。

ABSTRACT

This purpose of this book is twofold: to provide a general introduction to higher category theory (using the formalism of "quasicategories" or "weak Kan complexes"), and to apply this theory to the study of higher versions of Grothendieck topoi. A few applications to classical topology are included.

研究の動機と目的

• 通常の圏や位相空間の一般化としての∞-圏の包括的な理論の構築。
• グロタンディークのトポス理論の高階圏的類似を提供し、層論的およびコhomology的技法を高次元へ拡張すること。
• 高階トポスの形式的性質、特に表現可能性、局所化、普遍的構成の確立。
• Eilenberg-MacLane空間によるコホモロジーなど、古典的代数的トポロジー（例：コホモロジー）を∞-圏の観点から高階的構造と統合すること。

提案手法

• 高階圏論の主要フレームワークとして、準カテゴリ（∞-圏のモデル）を用いる。
• 特に左適切な結合的シミプレクティックモデル圏を用いて、∞-圏の構成と分析を行うモデル圏論を適用する。
• 特定の写像を弱同値にすることで、新しいモデル構造を構成するボウスフィールド局所化を導入し、普遍的構成を可能にする。
• ∞-圏的設定におけるヤヌダの補題を用いて関手の表現可能性を確立し、圏論における古典的表現可能性を一般化する。
• 結合的∞-圏の理論を用いて、それらが小さい集合の余極限によって生成され、随伴関手定理を満たすことを示す。
• 局所化技術を用いて、高階トポスをプレシャーファー∞-圏の局所化として定義し、それらを研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー や分類空間といった古典的代数的トポロジーの概念を、高階的圏的設定へどのように一般化できるか。
• RQ2 グロタンディークのトポスの正しい高階的類似とは何か。どのような普遍的性質を満たすべきか。
• RQ3 特に局所化を用いたモデル圏論的技法によって、∞-圏はどのように構成され、操作できるか。
• RQ4 ∞-圏間の関手が表現可能であるための条件は何か。これは古典的ヤヌダの補題をどのように一般化するか。
• RQ5 Quillenの随伴と導来関手は、∞-圏的文脈における局所化の下でどのように振る舞うか。

主な発見

• 空間の∞-圏は、一点上の空間の∞-圏と同値であり、これは高階トポス理論の基礎をなす。
• すべてのプレゼンタブルな∞-圏は、プレシャーファー∞-圏の局所化である。これは、グロタンディークのトポスに対して古典的に成立する結果を一般化する。
• 結合的シミプレクティックモデル圏における一連の射の集合での局所化により、新しいモデル構造が得られ、その導来関手が弱同値を保存するための必要十分条件は、元の関手が局所化を保存することである。
• 左適切な結合的シミプレクティックモデル圏間のQuillen随伴が、局所化されたモデル構造においてもQuillen随伴を誘導するための必要十分条件は、左導来関手が局所化のための射を同型に送ることである。
• Quillen随伴の右導来関手が完全に faithful であるならば、局所化されたモデル構造における誘導された随伴はQuillen同値である。これは古典的なQuillen同値性基準を一般化する。
• 理論により、高階トポスは、プレシャーファー∞-圏の局所化であるプレゼンタブルな∞-圏として正確に特定され、グロタンディークのトポスの高階的一般化が確立される。