[論文レビュー] Higher Yang-Mills Theory

John C. Baez|ArXiv.org|Jun 15, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 77

ひとこと要約

本稿では、リー2群とリー交差モジュールを用いて、ヤン・ミルズ理論の高次元一般化を提案する。接続を1形式A（g値）と2形式B（h値）として定式化し、高次ヤン・ミルズ方程式を導出する。主な結果として、半単純リー群Hとその自己同型2群を用いた5次元空間において、特定の計量および同型条件のもとで、∗F = Gのとき自己双対解が存在することを示す。

ABSTRACT

Electromagnetism can be generalized to Yang-Mills theory by replacing the group U(1)$ by a nonabelian Lie group. This raises the question of whether one can similarly generalize 2-form electromagnetism to a kind of "higher-dimensional Yang-Mills theory". It turns out that to do this, one should replace the Lie group by a "Lie 2-group", which is a category C where the set of objects and the set of morphisms are Lie groups, and the source, target, identity and composition maps are homomorphisms. We show that this is the same as a "Lie crossed module": a pair of Lie groups G,H with a homomorphism t: H -> G and an action of G on H satisfying two compatibility conditions. Following Breen and Messing's ideas on the geometry of nonabelian gerbes, one can define "principal 2-bundles" for any Lie 2-group C and do gauge theory in this new context. Here we only consider trivial 2-bundles, where a connection consists of a Lie(G)-valued 1-form together with an Lie(H)-valued 2-form, and its curvature consists of a Lie(G)-valued 2-form together with a Lie(H)-valued 3-form. We generalize the Yang-Mills action for this sort of connection, and use this to derive "higher Yang-Mills equations". Finally, we show that in certain cases these equations admit self-dual solutions in five dimensions.

研究の動機と目的

• 電磁気学と2形式電磁気学の類似性に着想を得て、1形式ゲージ場から高次形式へのヤン・ミルズ理論の一般化を図ること。
• 表面における非アーベル holonomy を定義する際の障害を解消するため、非アーベル群の代わりにリー2群を導入すること。
• 接続の曲率が2つの異なる次数にわたる主2束の整合的なゲージ理論を構築すること。
• リー代数上の不変な2次形式を用いて、作用原理から高次ヤン・ミルズ方程式を導出すること。
• 特定の計量および群論的条件を満たす5次元時空において、自己双対解が存在する条件を調査すること。

提案手法

• GとHをリー群とし、t: H → Gを準同型、GがHに自己同型による作用をもつことからなるリー交差モジュール(G, H, t, α)を用いて高次ゲージ理論をモデル化する。
• 接続を、g値1形式Aとh値2形式Bのペア(A, B)として定義し、曲率を(F, G)とする。ここでF = dA + [A, A]、G = dB + [A, B]である。
• 一般化されたホッジスター作用素と双対写像dt*を導入し、作用関数における微分の形式的随伴を定義する。
• 曲率形式とそのホッジ双対との外積のトレースを用いて、高次ヤン・ミルズ作用関数を構成する。
• 作用関数に対して変分法を適用し、双対写像を用いて曲率形式を関連づけることで、高次ヤン・ミルズ方程式を導出する。
• 5次元において、自己双対条件∗F = Gと∗G = Fを課す。これには、符号型(+,+,+,+,+)または同等の計量と、キリング形式によるg ≅ hの同型が必要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー2群のような高次構造を用いて、2次元に拡張された対象に対する整合的な非アーベルゲージ理論を構築できるか？
• RQ2 表面ホロノミーを取り扱う際、曲率とゲージ不変性を通常の接続を超えてどのように一般化できるか？
• RQ3 5次元時空において、特定の計量および群論的条件を満たすとき、高次ヤン・ミルズ方程式に自己双対解が存在する条件は何か？
• RQ4 リー交差モジュールと不変な2次形式は、作用および運動方程式の定式化において果たす役割は何か？
• RQ5 5次元における自己双対高次ヤン・ミルズ方程式は、4次元における自己双対ヤン・ミルズ理論の高次元アナロジーと解釈できるか？

主な発見

• 高次ヤン・ミルズ方程式は、曲率形式とそのホッジ双対との積のトレースから構成されたゲージ不変作用関数のオイラー＝ラグランジュ方程式として導出される。
• 方程式は対称的形式 d_A ∗F = ∗G ∧ B および d_A ∗G = −∗F として表され、バイアンキ恒等式は d_A F = −G および d_A G = F ∧ B である。
• 符号型(+,+,+,+,+)または(+,+,−,−,−)の5次元リーマン的またはローレンツ的計量を用いた5次元空間において、∗F = Gのとき自己双対解が存在する。
• Hが半単純リー群であり、Cがその自己同型2群であるとき、キリング形式によるg ≅ hの同型が得られ、このとき自己双対解が存在することが示される。
• この同型のもとで、双対写像dt*は自明になり、方程式は d_A ∗F = ∗G および d_A ∗G = ∗F に簡略化され、4次元における自己双対ヤン・ミルズと類似した形になる。
• このような解の存在は、gとhにおけるキリング形式の非退化性および不変性に依存しており、作用に適切な内積を定義するための根拠となる。