[論文レビュー] Highly edge-connected regular graphs without large factorizable subgraphs

Davide Mattiolo, Eckhard Steffen|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、r ≥ 4 に対して、r−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない、高さの辺連結度を持つ r-正則グラフ（r-グラフ）を構成し、Thomassen が提起した『任意の偶数次数の r-正則 r-辺連結グラフは、r−2 個の 1-因子と 1 つの 2-因子に分解可能か？』という問題に対して、否定的な答えを与える。構成法は、Petersen グラフの完全マッチングと、グラフ拡張による辺連結度の強化を用い、r ≡ 0, 1, 2 (mod 4) に応じた指定された辺連結度レベルを持つ、無限個のこのようなグラフを構成する。

ABSTRACT

We construct highly edge-connected $r$-regular graph which do not contain $r-2$ pairwise disjoint perfect matchings. The results partially answer a question stated by Thomassen [Factorizing regular graphs, J. Comb. Theory Ser. B (2019), https://doi.org/10.1016/j.jctb.2019.05.002 (article in press)].

研究の動機と目的

• r ≥ 4 に対して、r-正則 r-辺連結グラフが r−2 個の 1-因子と 1 つの 2-因子に分解可能かどうかという Thomassen の未解決問題に取り組む。
• r−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない無限族の r-グラフを構成する。
• r−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない r-グラフが存在する最小の辺連結度 t を、r mod 4 に応じて特定する。
• 構成法を拡張し、同じ性質を持つ単純な r-グラフ（次数 70(r−1)）を構成する。
• 高さの辺連結度が、r-グラフにおいて多くの互いに素な完全マッチングの存在を保証するわけではないことを示す。

提案手法

• Petersen グラフ P の構造的性質、特にその 5 個の完全マッチング M0 から M5 及びそれらの交差挙動を活用する。
• G′ = G + (N1 + · · · + Nk) というグラフ作用を用い、Nj を完全マッチングのコピーとすることで、辺多重度を制御した拡張グラフ Pk を構築する。
• Hk の頂点に Meredith の拡張を適用し、単純な r-グラフを生成しながら、辺連結度と r−2 個の互いに素な完全マッチングの欠如を維持する。
• タイプ関数 t(N) = j を用いて、拡張グラフ内の完全マッチングにラベルを付ける。ここで j は基本的な Petersen グラフにおけるマッチングのタイプを示す。
• 関数 φ: E(G) → Zn₂ を用いてマッチングの交差を追跡し、Lemma 2.5 を適用して、各頂点集合 V i_k が 4k−2 個の互いに素なマッチングの族において、ちょうど 2k−1 個のマッチングと交差することを示す。
• Hk を、Pk のコピーを組み合わせ、頂点の同一視と辺の追加を施すことにより、60 頂点の 4k-辺連結 4k-グラフとして構築する。これにより、高い連結度と構造的制約を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r ≥ 4 に対して、r-正則 r-辺連結グラフで、r−2 個の 1-因子と 1 つの 2-因子に分解されないものが存在するか？
• RQ2 r−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない r-グラフが存在する最小の辺連結度 t は何か？
• RQ3 このようなグラフを単純かつ制御可能な次数で構成可能か？
• RQ4 r-グラフにおける高さの辺連結度は、多くの互いに素な完全マッチングの存在を保証するか？
• RQ5 Petersen グラフの完全マッチングの性質は、このような極値的 r-グラフの構成をどのように可能にするか？

主な発見

• すべての r ≥ 4 に対して、r−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない t-辺連結 r-グラフの無限族が存在する。ここで t = r (r ≡ 0 mod 4 のとき), t = r−1 (r ≡ 1 mod 2 のとき), t = r−2 (r ≡ 2 mod 4 のとき) である。
• 構成法により、60 頂点の t-辺連結 r-グラフが得られ、r−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない。Hk は各 k ≥ 1 に対して 60 頂点の 4k-辺連結 4k-グラフである。
• 単純な r-グラフで、次数 70(r−1) のものも存在し、t-辺連結であり、r−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない。これは繰り返し Meredith の拡張を適用することで構成される。
• グラフ Hk は 4k-辺連結であり、4k−2 個の互いに素な完全マッチングを含まない。これは、頂点集合 V i_k 上でのマッチング交差数の矛盾を用いた証明により示される。
• Hk+1 は、Hk に 4 個の互いに素な完全マッチング N0, N1, N2, N3 を加えることで得られ、再帰的構成が確立される。
• Hk の頂点被覆（サイズ 35）に Meredith の拡張を適用することで、同じ非因子的性質を保ち、辺連結度とマッチング制約を維持する単純な r-グラフ（次数 70(r−1)）が得られる。