[論文レビュー] Highly linked tournaments

Alexey Pokrovskiy|BIROn (Birkbeck, University of London)|Jun 29, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、K"uhn, Lapinskas, Osthus, および Patelの予想を確認する形で、任意の強い452k-連結トーナメントがk-連結であることを証明している。連結構造法を用いてトランジティブ部分トーナメントとMengerの定理を拡張し、指定された頂点対間の頂点を共有しないパスを構成することで、k-連結トーナメントの連結性の線形境界を達成している。

ABSTRACT

A (possibly directed) graph is $k$-linked if for any two disjoint sets of vertices $\{x_1, \dots, x_k\}$ and $\{y_1, \dots, y_k\}$ there are vertex disjoint paths $P_1, \dots, P_k$ such that $P_i$ goes from $x_i$ to $y_{i}$. A theorem of Bollobás and Thomason says that every $22k$-connected (undirected) graph is $k$-linked. It is desirable to obtain analogues for directed graphs as well. Although Thomassen showed that the Bollobás-Thomason Theorem does not hold for general directed graphs, he proved an analogue of the theorem for tournaments - there is a function $f(k)$ such that every strongly $f(k)$-connected tournament is $k$-linked. The bound on $f(k)$ was reduced to $O(k \log k)$ by Kühn, Lapinskas, Osthus, and Patel, who also conjectured that a linear bound should hold. We prove this conjecture, by showing that every strongly $452k$-connected tournament is $k$-linked.

研究の動機と目的

• トーナメントがk-連結であるための線形連結性境界が十分であるという予想を解決すること。
• K"uhn らが提示した O(k log k) の従来の境界を、トーナメントにおける強い連結性がk-連結性を示すために改善すること。
• トーナメントにおけるk-連結性を保証する線形連結性閾値の明示的かつタイトな定数（452）を確立すること。
• 連結構造法を発展させ、高連結トーナメントにおける正確なパス構成を達成すること。

提案手法

• サイズ2のトランジティブ部分トーナメント（D⁻_i, D⁺_i）を用いて、パス成分を形成する連結構造を構築する。
• T\X において Y⁻ から X⁺ への5k個の頂点を共有しないパス Q_i をMengerの定理を用いて特定する。ここで |X| ≤ 222k である。
• 次数条件と平均化の議論を用いて、重要な集合 E⁻_i および E⁺_i の外部における追加の出隣接点および入隣接点を同定する。
• 支配集合からの初期パスの端点を置き換えることで、頂点の互いに素性とパスの連続性を保証する。
• T⁻ および T⁺ において Q⁻_i および Q⁺_i を Q′_i パスに接続する P⁻_i および P⁺_i を見つけるために補題2.1を用いる。
• パスを連結する：x_i → x′_i → Q⁻_i → P⁻_i → Q′_i → P⁺_i → Q⁺_i → y′_i → y_i により、必要なk個の頂点を共有しない x_i-y_i パスを形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の強い f(k)-連結トーナメントがk-連結であるような線形関数 f(k) が存在するか？
• RQ2 k-連結トーナメントのための O(k log k) 連結性境界を線形境界に改善できるか？
• RQ3 任意の強い Ck-連結トーナメントがk-連結であるような最良の明示的定数 C は何か？
• RQ4 連結構造法を精緻化することで、トーナメントにおけるk-連結性のタイトな線形境界を達成できるか？

主な発見

• 任意の強い452k-連結トーナメントはk-連結であり、K"uhn, Lapinskas, Osthus, および Patelの予想を確認した。
• 452k の境界は明示的かつ構成的であり、従来の 10⁴k log k の O(k log k) の境界を改善した。
• パスの互いに素性と連結性を保証するために、支配集合の外部にある頂点の慎重な選択に依存している。
• トランジティブ部分トーナメントとMengerの定理を用いて、指定された頂点対間の頂点を共有しないパスを構成している。
• x′_i および y′_i は E⁻_i および E⁺_i の外部から選び、それぞれ少なくとも2k個の選択肢が得られ、これにより互いに素性が保証される。
• 最終的なパス連結により、x_i から y_i へのすべてのk個のパスが頂点を共有せず、k-連結性を満たす。