[論文レビュー] Highly Transitive Actions of Out(Fn)

Shelly Garion, Yair Glasner|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、すべての $ n \geq 4 $ に対して、$ n $ 個の生成元からなる自由群の外部自己同型群 $ \operatorname{Out}(F_n) $ が、可算集合上で忠実かつ高次元的（highly transitive）な作用をもつことを確立する。この構成は、適切なターシキー・モンスター群 $ G $ における $ F_n $ から $ G $ への準同型の $ \operatorname{Aut}(G) $-軌道の集合への $ \operatorname{Out}(F_n) $ の作用に依存しており、群の非アーベル的構造と群法則の不在を活用することで、すべての $ k $-組に対して完全な可移性（transitivity）を達成する。

ABSTRACT

An action of a group on a set is called k-transitive if it is transitive on ordered k-tuples and highly transitive if it is k-transitive for every k. We show that for n>3 the group Out(Fn) = Aut(Fn)/Inn(Fn) admits a faithful highly transitive action on a countable set.

研究の動機と目的

• $ \operatorname{Out}(F_n) $ が $ n \geq 4 $ のとき、可算集合上で高次元的かつ可移な置換表現をもつかどうかを特定すること。
• 特に、局所コンパクトでないポーランド群作用の文脈において、非線形的かつ非算術的群（例：$ \operatorname{Out}(F_n) $）の置換表現の理解を拡張すること。
• そのような作用が忠実かつ高次元的であるかどうかを検討すること。これにより、離散的または前コンパクトな像を避ける。
• 自由群や曲面群に関する高次元的作用の結果を $ \operatorname{Out}(F_n) $ へ一般化できるかを調査すること。

提案手法

• 著者らは、$ G $ をすべての真の部分群が素数位数である有限生成で無限大かつ単純な群とするターシキー・モンスター群 $ G $ に対して、$ \operatorname{Out}(F_n) $ が $ G $ 内の $ n $-組の $ \operatorname{Aut}(G) $-軌道の集合への忠実な作用を構成する。
• $ \operatorname{Hom}(F_n, G) $ と $ G^n $ の同一視を用い、生成 $ n $-組の $ \operatorname{Aut}(G) $-軌道の集合である $ \bar{V}_n(G) $ への $ \operatorname{Out}(F_n) $ の作用を考察する。
• キーとなる技術的道具は、$ \operatorname{Out}(G) = \langle e \rangle $（自明な外部自己同型群）をもつターシキー・モンスター $ G $ の使用であり、これにより作用が適切に定義され、忠実性が保証される。
• 証明は、適切な $ F_n $ の自己同型を構成することで、すべての $ k $ に対して $ k $-可移性（$ k $-transitivity）が成立することを示すことに依拠している。その際、生成 $ n $-組を制御された方法で置き換える。
• 著者らは、$ F_n $ 内の語の写像と関係を用いて作用を分析し、ある語 $ w_i^u $ が $ V_2(G) $ 上で恒等的に消えるならば、作用は $ \operatorname{Out}(F_n) $ を通して因数分解されなければならないことを用いる。
• $ G $ に非自明な群法則が存在しないことを利用して、$ \bar{V}_n(G) $ 上で自明に作用する $ \operatorname{Out}(F_n) $ の非自明な元が存在しないことを示すことで、忠実性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \operatorname{Out}(F_n) $ は $ n \geq 4 $ のとき、可算集合上で忠実かつ高次元的かつ可移な作用をもつか？
• RQ2 そのような作用は、ターシキー・モンスターのような非アーベル的かつ単純な群への準同型を用いて構成可能か？
• RQ3 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}) $ は、$ \operatorname{Out}(F_n) $ の結果と同様に、稠密な像をもつ高次元的置換表現をもてるか？
• RQ4 $ \operatorname{Out}(F_3) $ と $ \operatorname{Out}(F_2) $ の可移性の性質は何か？ また、それらは高次元的作用をもつか？
• RQ5 曲面の写像類群は、高次元的作用をもつか、あるいは十分大きな $ k $ に対して $ k $-可移作用をもつか？

主な発見

• すべての $ n \geq 4 $ に対して、$ \operatorname{Out}(F_n) $ は可算集合上で忠実かつ高次元的かつ可移な作用をもつ。これは、すべての $ k \geq 1 $ に対して、異なる要素の $ k $-組に対して可移的であることを意味する。
• 作用は、ターシキー・モンスター群 $ G $ 内の生成 $ n $-組の $ \operatorname{Aut}(G) $-軌道の集合 $ \bar{V}_n(G) $ への $ \operatorname{Out}(F_n) $ の作用として実現される。
• $ G $ が非自明な群法則を満たさないという事実により、作用の忠実性が保証される。これにより、$ F_n $ の非自明な自己同型が $ \bar{V}_n(G) $ 上で自明に作用することはない。
• $ n = 2 $ および $ n = 3 $ の場合、現在の技術では、補題11の条件3の $ 3 \times 3 $-類似が満たせないため、構成は失敗する。
• 本結果は、$ n \geq 4 $ のとき $ \operatorname{Out}(F_n) $ に対して高次元的かつ忠実な作用が初めて知られた例を提供し、$ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}) $ に関する類似結果よりも先んじている。
• 本稿では一般に、任意の有限生成群 $ G $ に対して、$ \operatorname{Out}(F_n) $ が $ \operatorname{Aut}(G) $-軌道の集合 $ \operatorname{Hom}(F_n, G) $ に忠実に作用するための必要十分条件を確立している。それは、$ G $ が群法則を満たさない場合に限る。