[論文レビュー] Hilbert functions of Gorenstein algebras associated to a pencil of forms

Anthony Iarrobino|ArXiv.org|Dec 18, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、双対環における形式の線型系を介して、タイプ2のレベル代数の一般型アートィニアン・ゴレンシュタイン商のヒルベルト関数の下界を確立する。マコーレイ・双対性および逆系を用いて、一般型ゴレンシュタイン商のヒルベルト関数が生成形式のヒルベルト関数によって制約されることを示し、任意の埋め込み次元におけるこのようなレベル代数の可能なヒルベルト関数に新たな数値的制約を与える。

ABSTRACT

Let R be a polynomial ring in r variables and D a dual ring upon which R acts as partial differential operators (classical apolarity). For a type two graded level Artinian algebras A=R/I, of socle degree j we consider the family of Artinian Gorenstein [AG] quotients of A having the same socle degree. By Macaulay duality, A corresponds to a unique 2-dimensional vector space W(A)= of degree-j homogeneous elements (forms) in D, and each such AG quotient of A corresponds to an element $F_λ=F+λG$ in W(A), up to non-zero constant multiple. Our main result is a lower bound for the Hilbert function of the generic AG quotient of A in terms of the Hilbert functions of A and the AG quotients of R determined by F and by G. This result restricts the possible sequences H that may occur as the Hilbert function for a type two level algebra A. This result may also be viewed as obtaining an optimal lower bound on the dimensions of the spaces of degree-u partial derivatives of $F+λG$ for a generic lambda in terms of the corresponding dimensions for the forms F and G.

研究の動機と目的

• タイプ2のレベルアートィニアン代数のヒルベルト関数に課せられる数値的制約を特定すること。
• 双対環における形式の線型系から生じるアートィニアン・ゴレンシュタイン商のヒルベルト関数を分析すること。
• ゴレンシュタイン列に対する既知の結果を、より一般なタイプ2のレベル代数の設定へと拡張すること。
• マコーレイ双対性を用いて、レベル代数のヒルベルト関数とそのゴレンシュタイン商のヒルベルト関数の関係を明確にすること。
• 特に r=3 および t=2 の場合に、ヒルベルト関数の構造に関する未解決の問題を解消すること。

提案手法

• マコーレイ双対性を用いて、タイプ2のレベル代数 A を双対環 D_j 内の形式の2次元部分空間 W_A に関連付ける。
• 各アートィニアン・ゴレンシュタイン商 A_λ を R / Ann(F_λ) として表現し、F_λ = F + λG が W_A 内の線型系を走ることを示す。
• 逆系および R の D への微分作用素による作用を用いて、アニュレーターの構造を分析する。
• 理想の結合を介して定義される H_F +_h H_G を用いて、一般型ゴレンシュタイン商のヒルベルト関数を上から抑える。
• 不等式 H(A_λ_gen) ≥ H(A) - H_F - H_G + H_F +_h H_G を適用し、下界を導出する。
• 有理正規曲線の生成性および一般性の議論を用いて、具体例におけるヒルベルト関数の振る舞いを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成ゴレンシュタイン商に基づいて、タイプ2のレベル代数のヒルベルト関数にどのような数値的制約を課せられるか。
• RQ2 線型系に属する生成形式のヒルベルト関数を用いて、レベル代数の一般型ゴレンシュタイン商のヒルベルト関数を下から抑えることは可能か。
• RQ3 圧縮タイプ2のレベル代数の一般型ゴレンシュタイン商は、必然的に圧縮的か。
• RQ4 線型系内の生成形式 F と G のヒルベルト関数は、レベル代数 A のヒルベルト関数にどのように制約を加えるか。
• RQ5 線型系における非一般的振る舞いが、関連するレベル代数のヒルベルト関数に与える影響は何か。

主な発見

• 一般型ゴレンシュタイン商 A_λ_gen のヒルベルト関数は、H(A_λ_gen) ≥ H(A) - H_F - H_G + H_F +_h H_G を満たし、生成形式のヒルベルト関数に基づく下界を与える。
• r=3 および socle degree j=4 の場合、H(A)=(1,3,6,6,2) である圧縮レベル代数 A は、H(A_λ_gen)=(1,3,5,3,1) である一般型ゴレンシュタイン商を有することが可能であり、これは圧縮列 (1,3,6,3,1) ではないため、一般型ゴレンシュタイン商が必ずしも圧縮的ではないことを示している。
• K[x,y,z] 上のタイプ2のレベル代数として、(1,3,…,8,4,2) という列は、H_F +_h H_G を含む導出された不等式に反するため、ヒルベルト関数として許されない。
• D_4 内の F と G の例は、H(A) が最大（圧縮的）であっても、一般型ゴレンシュタイン商が圧縮的でないことがあることを示しており、r=2 の高次元における予想を反証している。
• 例によって、不等式が予測する最小値に H(A_λ_gen) が達する場合、境界が鋭いことが示されている。
• p > j のとき、割り込み冪環を D の代わりに用い、微分作用素の代わりに収縮作用を用いることで、正の特性 p に対しても結果が拡張可能である。