[論文レビュー] Hilbert-Kunz density function and Hilbert-Kunz multiplicity

V. Trivedi|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Functional Equations Stability Results参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数におけるグレーディング付き環と加群に対して、積分公式を用いてヒルベルト＝クンツ多重度と関連づける新しい不変量であるヒルベルト＝クンツ密度関数（HKd）を導入する。HKdがセグレ積に関して加法的かつ乗法的であることを証明し、その結果、任意の射影的曲線の有限セグレ積のヒルベルト＝クンツ多重度が有理数であることが示される。

ABSTRACT

For a pair $(M, I)$, where $M$ is finitely generated graded module over a standard graded ring $R$ of dimension $d$, and $I$ is a graded ideal with $\ell(R/I) < \infty$, we introduce a new invariant $HKd(M, I)$ called the {\em Hilbert-Kunz density function}. In Theorem 1.1, we relate this to the Hilbert-Kunz multiplicity $e_{HK}(M,I)$ by an integral formula. We prove that the Hilbert-Kunz density function is additive. Moreover it satisfies a multiplicative formula for a Segre product of rings. This gives a formula for $e_{HK}$ of the Segre product of rings in terms of the HKd of the rings involved. As a corollary, $e_{HK}$ of the Segre product of any finite number of Projective curves is a rational number. As an another application we see that $e_{HK}(R, {\bf m}^k) - e(R, {\bf m}^k)/d!$ grows at least as a fixed positive multiple of $k^{d-1}$ as $k o \infty$.

研究の動機と目的

• グレーディング付き環の正標数におけるペア (M, I) に対して、新しい不変量であるヒルベルト＝クンツ密度関数（HKd）を定義すること。
• HKdを標準的ヒルベルト＝クンツ多重度 e_HK と積分公式で関連付けること。
• 環のセグレ積におけるHKdの加法性および乗法的公式を確立すること。
• 任意の射影的曲線の有限セグレ積のヒルベルト＝クンツ多重度が有理数であることを証明すること。
• HKdがハーディング＝ナラシマンの勾配やシンジーギー束のランクといった内在的不変量を符号化していることを示すこと。

提案手法

• HKd(M, I)(x) を、q = p^n として、g_n(x) = (1/q^{d-1}) ℓ(M / I^{[q]}M)_{⌊xq⌋} で与えられる区分的線形関数の点별極限として定義する。
• グレーディング付き加群およびフォーブェニウス冪の性質を用いて、{g_n} がコンパクト台付き連続関数 f(x) = HKd(M, I)(x) に一様収束することを証明する。
• HKdと標準的ヒルベルト＝クンツ多重度との関係を示す積分公式 e_HK(M, I) = ∫ℝ f(x) dx を確立する。
• セグレ積におけるHKdの乗法的公式を導出する：HKd(R#S, I#J)(x) = [e₀(R)/(d₁−1)!]x^{d₁−1}g(x) + [e₀(S)/(d₂−1)!]x^{d₂−1}f(x) − f(x)g(x) であり、ここで f = HKd(R,I), g = HKd(S,J) である。
• この乗法的公式を用いて、セグレ積の e_HK を因子のHKd関数で表現する。
• 射影空間および非特異射影的曲線に対してHKdを明示的に計算し、それが有理数係数の区分的線形多項式であり、正規化されたHN勾配における特異点を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト＝クンツ多重度を関数的・連続的形式で捉える新しい不変量を定義できるか？
• RQ2 グレーディング付き環のセグレ積におけるヒルベルト＝クンツ密度関数はどのように振る舞うか？
• RQ3 射影的曲線のセグレ積のヒルベルト＝クンツ多重度は常に有理数か？
• RQ4 曲線のハーディング＝ナラシマンデータは、そのヒルベルト＝クンツ密度関数から回復可能か？
• RQ5 HKd関数は、e_HK の加法的性質に類似した乗法的性質を満たすか？

主な発見

• ヒルベルト＝クンツ密度関数 HKd(M, I) は、コンパクト台付きで連続かつ区分的線形であり、有理数係数を持ち、区分的線形近似の一様極限として得られる。
• ヒルベルト＝クンツ多重度 e_HK(M, I) は、HKd(M, I) を ℝ 上で積分した値に等しく、e_HK の関数的表現を提供する。
• HKd は加法的である：M = M₁ ⊕ M₂ ならば、HKd(M, I) = HKd(M₁, I) + HKd(M₂, I) が成り立つ。
• セグレ積では、HKd(R#S, I#J) は、ヒルベルト＝サミュエル多重度 e₀(R), e₀(S) および個々のHKd関数 f, g を含む乗法的公式を満たす。
• 任意の射影的曲線の有限セグレ積のヒルベルト＝クンツ多重度は、補題 3.5 を用いて有理数であることが示された。
• 次数 d の非特異射影的曲線で HN データが (d, {r_i}, {a_i}) である場合、HKd 関数は正確に {1 − a_i/d} において特異点を持ち、ランク {r_i} および勾配 {a_i} は HKd から回復可能である。