[論文レビュー] Hilbert modules over locally C*-algebras

Yu. I. Zhuraev, Felix Sharipov|ArXiv.org|Nov 8, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、局所C*-代数上のヒルベルト加群の自己随伴自己準同型の集合が、自然なC*-セミノルムの族に関して局所C*-代数をなすことを確立している。著者は、既知のC*-加群理論の事実を一般化するこの結果について、詳細な証明を提示し、商C*-代数におけるスペクトル的性質とノルム的性質を通じてその妥当性を確認している。

ABSTRACT

In the present paper the notion of a Hilbert module over a locally C*-algebra is discussed and some results are obtained on this matter. In particular, we give a detailed proof of the known result that the set of adjointable endomorphisms of such modules is itself a locally C*-algebra.

研究の動機と目的

• 局所C*-代数は相対論的量子力学や非可換幾何学において自然に現れるため、ヒルベルトC*-加群理論を局所C*-代数の設定に拡張すること。
• 標準的なヒルベルトC*-加群枠組みを一般化する、局所C*-代数上のヒルベルト加群の定義と研究。
• このような加群の自己随伴自己準同型の空間が、構造的結果として自身が局所C*-代数であることを証明すること。
• 文献に既に認識されているにもかかわらず、研究者にとっての参考となる包括的かつ自己完結的な証明を提供すること。

提案手法

• C*-セミノルムの族と代数値をとる整合性のある内積を用いて、局所C*-代数上のヒルベルト加群を定義する。
• $P_\alpha$ の核 $I_\alpha$ に対し、各セミノルム $P_\alpha$ に対して $X_\alpha = X / \bar{I}_\alpha$ として商加群を構成し、$A_\alpha = A / I_\alpha$ におけるC*-代数上のヒルベルト加群を得る。
• 自己準同型 $T \in \text{End}_A^*(X)$ の空間上で、$T_\alpha$ を $X_\alpha$ 上に誘導される作用素として定義し、$\hat{P}_\alpha(T) = \|T_\alpha\|$ とセミノルムを定義する。
• $\hat{P}_\alpha$ がC*-恒等式 $\hat{P}_\alpha(T^*T) = \hat{P}_\alpha(T)^2$ を満たすことを証明し、これがC*-セミノルムであることを確認する。
• 自己随伴ネットの収束を用いて、$\{\hat{P}_\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$ が誘導する位相において $\text{End}_A^*(X)$ が完備であることを示す。
• $T \mapsto T_\alpha$ が $\text{End}_A^*(X)$ から $\text{End}_{A_\alpha}^*(X_\alpha)$ への*-準同型であることを確立し、スペクトルと正性を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所C*-代数上のヒルベルト加群の自己随伴自己準同型の空間は、自身が局所C*-代数であるか？
• RQ2 自己準同型のスペクトル的性質および正性は、そのC*-商における商写像のそれらとどのように関係するか？
• RQ3 局所C*-代数上の自己随伴自己準同型の構造は、関連するC*-商におけるその振る舞いから回復可能か？
• RQ4 加群および代数の帰納的極限構造が、有界性および自己随伴性を保存する役割は何か？
• RQ5 非単位的局所C*-代数のユニタリ化が、その上のヒルベルト加群の自己準同型代数に与える影響は何か？

主な発見

• ヒルベルト加群 $X$ の自己随伴自己準同型の集合 $\text{End}_A^*(X)$ は、族 $\{\hat{P}_\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$ に関して局所C*-代数をなす。
• $\alpha$ ごとに、商加群 $X_\alpha$ 上に誘導される作用素 $T_\alpha$ は有界かつ自己随伴的であり、$\|T_\alpha\| = \hat{P}_\alpha(T)$ が成り立つ。
• セミノルム $\hat{P}_\alpha$ はC*-恒等式 $\hat{P}_\alpha(T^*T) = \hat{P}_\alpha(T)^2$ を満たし、これがC*-セミノルムであることが確認される。
• $\{\hat{P}_\alpha\}$ が定める位相において $\text{End}_A^*(X)$ は完備であるため、局所C*-代数である。
• 演算子 $T \in \text{End}_A^*(X)$ が正であることは、すべての $\alpha$ に対して $T_\alpha$ が $\text{End}_{A_\alpha}^*(X_\alpha)$ 内で正であることと同値である。
• $T$ のスペクトルは $\text{Sp}(T) = \bigcup_{\alpha \in \Delta} \text{Sp}(T_\alpha)$ を満たし、グローバルスペクトルが商のスペクトルの和集合と関連づけられる。