[論文レビュー] Hilbert schemes and W algebras

Wei-Ping Li, Zhenbo Qin+1 more|ArXiv.org|Nov 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、射影的表面 $X$ 上の $n$ 個の点のヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ のコホモロジー環の直和に非可約に作用する $ \mathcal{W}$ 代数 $ \mathcal{W}_X$ を幾何的に構成する。$ \alpha$ が正則性クラス $K$ と直交する場合、ヘイゼンベルグ代数生成子を用いた $\mathfrak{G}_k(\alpha)$ の明示的公式を用いて、フーリエ成分の交換関係を計算し、$ \mathcal{W}_X$ が $ \mathcal{W}_{1+\infty}$ 型代数として特定されることを示す。これは、この幾何的設定においてヘイゼンベルグ代数およびヴァラソロ代数を一般化するものである。

ABSTRACT

We construct geometrically the generating fields of a W algebra which acts irreducibly on the direct sum of the cohomology rings of the Hilbert schemes of n points on a projective surface for all n. We compute explicitly the commutators among a set of linear basis elements of the W algebra, and identify this algebra with a $W_{1+\infty}$-type algebra. A precise formula of certain Chern character operators, which is essential for the construction of the W algebra, is established in terms of the Heisenberg algebra generators. In addition, these Chern character operators are proved to be the zero-modes of vertex operators.

研究の動機と目的

• 射影的表面 $X$ 上の点のヒルベルトスキームのコホモロジー環の直和 $\mathbb{H}_X = \oplus_{n\geq 0} H^*(X^{[n]})$ に非可約に作用する $\mathcal{W}$ 代数を幾何的に構成すること。
• 正則性クラス $K$ と直交する $\alpha$ に対して、カップ積により作用する $\mathfrak{G}_k(\alpha)$ の明示的公式を、ヘイゼンベルグ代数生成子を用いて与えること。
• 生成場のフーリエ成分同士の交換関係を計算し、得られる代数が $\mathcal{W}_{1+\infty}$ 型代数として特定されることを示すこと。
• 演算子 $\mathfrak{G}_k(\alpha)$ が頂点演算子のゼロモードであることを確立し、レーンとソルジャーが提起した（やや修正を加えた）予想について、$G_k(\alpha,n)$ のクラスに関して検証すること。

提案手法

• 幾何的演算子 $\mathfrak{G}_k(\alpha) \in \mathrm{End}(\mathbb{H}_X)$ は、$G_k(\alpha,n) \in H^*(X^{[n]})$ とのカップ積により定義され、先行研究 [LQW1] で導入されたものである。
• 正則性クラス $K$ と直交する $\alpha$ に対して、中島＝グロイニョフスキーのヘイゼンベルグ代数生成子を用いて $\mathfrak{G}_k(\alpha)$ の明示的公式を導出する。
• ヘイゼンベルグ場に関連する頂点演算子の演算子積展開（OPE）を用いて、生成場のフーリエ成分 $\mathfrak{J}_m^p(\alpha)$ と $\mathfrak{J}_n^q(\beta)$ の交換関係を計算する。
• OPEの計算は $p+q > 4$ および $p+q \leq 4$ の場合に別々に行い、ローラン級数展開を用いて特異項および極構造を注意深く取り扱う。
• 得られた交換関係が、$pn - qm$、$p+q-1$、$m+n$ を含む係数を持つ $ \mathcal{W}_{1+\infty}$ 型代数の構造定数と一致することを示す。
• フーリエ成分がリー括弧に関して閉じており、代数がヘイゼンベルグ代数およびヴァラソロ代数の部分代数を含むことの検証により、$\mathcal{W}_X$ が $ \mathcal{W}_{1+\infty}$ 型代数として同定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的表面の点のヒルベルトスキームのコホモロジー上に、$\mathcal{W}$ 代数の生成場をどのように幾何的に構成できるか？
• RQ2 $\mathcal{W}_X$ 代数の明確な代数的構造は何か？ そして $\mathcal{W}_{1+\infty}$ とどのように関係するか？
• RQ3 正則性クラスに直交する $\alpha$ に対して、$\mathfrak{G}_k(\alpha)$ をヘイゼンベルグ代数生成子を用いて明示的に表現できるか？
• RQ4 演算子 $\mathfrak{G}_k(\alpha)$ は頂点演算子のゼロモードであるか？ また、これらの頂点演算子は代数的構造において果たす役割は何か？
• RQ5 交換関係 $[\mathfrak{J}_m^p(\alpha), \mathfrak{J}_n^q(\beta)]$ の明示的公式は、ヘイゼンベルグ代数および $\mathcal{W}$ 代数生成子を用いてどのように表せるか？

主な発見

• 正則性クラス $K$ と直交する $\alpha$ に対して、$\mathfrak{G}_k(\alpha)$ がヘイゼンベルグ代数生成子を用いて明示的に表現され、数値的に自明な正則性クラスを持つ表面の $X^{[n]}$ のコホモロジー環構造が完全に記述される。
• 交換関係 $[\mathfrak{J}_m^p(\alpha), \mathfrak{J}_n^q(\beta)]$ には、係数 $\frac{pn - qm}{p+q}$ を持つ項 $:a^{p+q}:_{m+n}(\tau_*(\alpha\beta))$ が含まれており、これは $\mathcal{W}_{1+\infty}$ 型構造の中心的役割を果たす。
• 項 $:(\partial^2 a) a^{p+q-3}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$ の係数は $-\frac{(pn - qm)(p+q-1)(p+q-2)}{24}$ であり、これは高スピンカレントの存在を確認する。
• 項 $:a^{p+q-2}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$ の係数は $\Theta_{m,n}^{p,q} + \frac{\Omega_{m,n}^{p,q}}{12(p+q-2)}$ で与えられ、ここで $\Theta_{m,n}^{p,q} = \frac{(pn - qm)(p+q-1)}{24}(2p+2q-2+3m+3n-(m+n)^2)$ である。
• 項 $:(\partial^3 a) a^{p+q-3}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$ は交換関係に現れない。その係数は恒等的にゼロであるため。
• $\mathcal{W}_X$ 代数は $\mathcal{W}_{1+\infty}$ 型代数として特定され、そのフーリエ成分は線形基底をなしており、ヘイゼンベルグ代数およびヴァラソロ代数の部分代数を含む。