[論文レビュー] Hilbert schemes, Hecke algebras and the Calogero-Sutherland system

Kevin Costello, I. Grojnowski|ArXiv.org|Oct 13, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルトスキームの点のコhomology環と可積分系との間の新しい関係を確立する。これは、環構造を微分作用素環内の変形された Calogero-Sutherland ハミルトニアンの中心化群として特定することによって達成される。フォック空間モデルとダンクル＝チェレドニク作用素を用いて、カップ積乗算を実現する可換な微分作用素の族を構成し、積分可能な運動量を用いたヒルベルトスキームのコhomology環の完全な代数的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We describe the ring structure of the cohomology of the Hilbert scheme of points for a smooth surface X. When the canonical class K_X = 0, this was done by Lehn and Sorger, extending earlier work when X = C^2. Their approach does not generalize. Instead we recast this problem as a question of finding integrals of motion for a Hamiltonian which describes ``intersection with the boundary''. To do so, we use the identification of the cohomology of the Hilbert schemes with a Fock space modelled on the lattice H(X). With this identification, Lehn computed the operator of intersection with the boundary. It is essentially the Calogero-Sutherland Hamiltonian. We then solve the problem of finding integrals of motion by using the Dunkl-Cherednik operators to find an explicit commuting family of differential operators; these operators represent cup product on the Hilbert scheme. We provide two characterizations of the Hilbert scheme multiplication operators; the first as an algebra of operators that can be inductively built from functions and the CS Hamiltonian, and the second in terms of the centralizer of the CS Hamiltonian inside an appropriate ring of differential operators.

研究の動機と目的

• 滑らかな代数的表面の点のヒルベルトスキームのコhomologyにかかる環構造を記述する長年の問題を解決すること、特に正則性類がゼロでない場合に焦点を当てる。
• 正則性類が消える場合にのみ機能する、オルビフォールドコhomologyとヘッケ代数に基づく従来のアプローチの失敗を克服すること。
• 境界交差作用素を変種の Calogero-Sutherland ハミルトニアンと同一視することにより、コhomology環構造を可積分系の問題として再定式化すること。
• このハミルトニアンと可換な微分作用素の族を用いて、ヒルベルトスキームコhomology上の乗算作用素の明示的かつ代数的な実現を構築すること。
• ヒルベルトスキームそのものの幾何的存在に依存しない、表面のコhomologyとその正則性類のみに依存するコhomology環の提示を提供すること。

提案手法

• ヒルベルトスキームのコhomologyを、表面のコhomologyの対称代数に同型なフォック空間として実現し、ヘイゼンベルク代数作用を用いる。
• カップ積と境界除集合の作用素を、変形された Calogero-Sutherland ハミルトニアンに等価な2階微分作用素として同定する。
• ダンクル＝チェレドニク作用素を用いて、このハミルトニアンの積分としての運動量を果たす可換な微分作用素の族を構成する。
• 表面のコhomologyのフロベニウス代数構造と正則性類に関連するパラメータに依存する、フォック空間上の連続微分作用素環を定義する。
• 乗算作用素の代数を、微分作用素環における Calogero-Sutherland ハミルトニアンの中心化群として特徴付け、これが積分の運動量によって生成される代数と一致することを示す。
• 乗算作用素代数の関連する順序付き代数が、コhomologyおよび運動量変数上の対称代数 $\operatorname{Sym}H[p]$ に同型であることを証明し、完全性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性類がゼロでない滑らかな曲面上の点のヒルベルトスキームのコhomology環構造を、代数的にどのように記述できるか？
• RQ2 ヒルベルトスキームのコhomology上のカップ積乗算を、可換な微分作用素の族として実現できるか？
• RQ3 ヒルベルトスキームそのものの幾何的存在に依存せずに、ヒルベルトスキームのコhomology環を構成できるか？
• RQ4 コhomology環を特定する問題を、特に Calogero-Sutherland モデルを通じて可積分系の問題に再定式化できるか？
• RQ5 フォック空間上の微分作用素環における境界交差作用素の中心化群の正確な代数的構造は何か？

主な発見

• ヒルベルトスキームコhomology上の乗算作用素の代数は、フォック空間上の微分作用素環における Calogero-Sutherland ハミルトニアンの中心化群と同型である。
• 構築された微分作用素の代数 $\mathcal{D}^{\text{hilb}}$ は、各 $\mathcal{F}^n$ 上での左乗算作用素の代数と一致する。
• $\mathcal{D}^{\text{hilb}}$ の関連する順序付き代数は、$\operatorname{Sym}H[p]$ に同型であり、完全性が確認される。
• Calogero-Sutherland ハミルトニアンの積分の運動量は、ダンクル＝チェレドニク作用素を用いて明示的に構成され、可換な族をなし、乗算代数を生成する。
• この構成により、ヒルベルトスキームそのものの存在に依存しないコhomology環の提示が得られ、$H(X,\mathbb{C})$ の弱いフロベニウス代数構造と $K\in H^2(X,\mathbb{C})$ の正則性類にのみ依存する。
• $K \neq 0$ の場合に従来のアプローチに生じる障害を、オルビフォールドコhomologyの代わりに可積分系の枠組みを用いることで解決する。