[論文レビュー] Hilbert schemes of points for associative algebras

Michael Larsen, Valery A. Lunts|arXiv (Cornell University)|May 12, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可換環 k 上の有限生成な結合的代数 𝒜 に対して、n 点のヒルベルト汎関手を構成し、余次元 n の左イデアルをパラメトライズする。自由な GLₙ-作用を持つ準アフィンな「ベース付きヒルベルト scheme」を導入し、その商が所望のヒルベルト scheme になることを示した。幾何的構成を用いて GIT を用いずに、その scheme がアフィン基底上に射影的であることを証明した。

ABSTRACT

For a finitely generated associative algebra $\cA$ over a commutative ring $k$ we construct the Hilbert scheme ${\bf H}^{[n]}_{\cA}$ which parametrizes left ideals in $\cA$ of codimension $n.$

研究の動機と目的

• 可換環 k 上の有限生成な結合的代数 𝒜 に対して、n 点のヒルベルト scheme を定義し構成すること。
• k-スキーム X に対して、𝒜_X-加群 M が階数 n の局所自由で、B が 𝒪_X-加群としての基底であり、v が 𝒜_X-加群として M を生成するような三つ組 (M, v, B) の同値類の集合を割り当てる関手 𝔐̃^{[n]}_𝒜 を定義すること。
• Rep^{[n]}_𝒜 と V の積の内部に含まれる開部分スキーム U ⊂ W × V と、Rep^{[n]}_𝒜 × V の交わりとして、普遍パラメータ空間を構成すること。ここで W = Spec k[t_{ij}^s]、V = Spec k[y₁,…,yₙ] であり、Rep^{[n]}_𝒜 は 𝒜 の n 次元表現をパラメトライズする。
• ベース付きヒルベルト scheme 𝔥̃^{[n]}_𝒜 を、スキームとしての U ∩ (Rep^{[n]}_𝒜 × V) として定義し、これは準アフィンで自然な自由な GLₙ-作用を持つことを示すこと。
• 商写像 π: 𝔥̃^{[n]}_𝒜 → 𝔥^{[n]}_𝒜 が、Zariski 局所自明な GLₙ-バンドルであることを示し、したがって 𝔥^{[n]}_𝒜 が商スキームであることを示すこと。
• 準アフィンスキーム上の自由な GLₙ-作用による商が射影的であることを示すことで、k がネーター的ならば 𝔥^{[n]}_𝒜 がアフィン基底上に射影的であることを証明すること。
• 降下理論と G-不変な層理論を用いて、商上の準連接層の圏と、全空間上の GLₙ-不変な準連接層の圏との同値性を確立すること。

提案手法

• 各 k-スキーム X に対して、M が階数 n の局所自由な 𝒜_X-加群で、B が 𝒪_X-加群としての基底であり、v が 𝒜_X-加群として M を生成するような三つ組 (M, v, B) の同値類の集合を割り当てる関手 𝔐̃^{[n]}_𝒜 を定義する。
• 普遍パラメータ空間を、開部分スキーム U ⊂ W × V（W = Spec k[t_{ij}^s]、V = Spec k[y₁,…,yₙ]）と、Rep^{[n]}_𝒜 × V の交わりとして構成する。ここで Rep^{[n]}_𝒜 は 𝒜 の n 次元表現をパラメトライズする。
• ベース付きヒルベルト scheme 𝔥̃^{[n]}_𝒜 を、スキームとしての U ∩ (Rep^{[n]}_𝒜 × V) として定義し、これは準アフィンで自然な自由な GLₙ-作用を持つ。
• 商写像 π: 𝔥̃^{[n]}_𝒜 → 𝔥^{[n]}_𝒜 が、Zariski 局所自明な GLₙ-バンドルであることを示し、したがって 𝔥^{[n]}_𝒜 が商スキームであることを示す。
• 準アフィンスキーム上の自由な GLₙ-作用による商が射影的であることを示すことで、k がネーター的ならば 𝔥^{[n]}_𝒜 がアフィン基底上に射影的であることを証明する。
• 降下理論と G-不変な層理論を用いて、商上の準連接層の圏と、全空間上の GLₙ-不変な準連接層の圏との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環 k 上の有限生成な結合的代数 𝒜 に対して、余次元 n の左イデアルをパラメトライズするモジュライ空間をどのように構成できるか？
• RQ2 非可換代数の n 点ヒルベルト scheme の幾何的構造はどのようなものか。可換の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 ヒルベルト scheme を Geometric Invariant Theory を用いずに明示的に構成できるか？
• RQ4 商モジュールにおける基底の選択が構成に果たす役割は何か。GLₙ による商とどのように関係するか？
• RQ5 得られるヒルベルト scheme はアフィン基底上に射影的か。もしそうならば、どのような条件下でそうなるか？

主な発見

• ベース付きヒルベルト scheme 𝔥̃^{[n]}_𝒜 は準アフィンで、自由な GLₙ-作用を持つため、商スキーム 𝔥^{[n]}_𝒜 にたいして主 GLₙ-バンドルをなす。
• 商スキーム 𝔥^{[n]}_𝒜 は、𝔥̃^{[n]}_𝒜 の GLₙ-作用による商と同型であり、これは k 上の良い定義されたスキームである。
• k がネーター的ならば、ヒルベルト scheme 𝔥^{[n]}_𝒜 はアフィン基底上に射影的である。これは非常に豊かな線分束の構成によって示された。
• 構成は明示的であり、Geometric Invariant Theory を用いていない。代わりに表現スキームと行列式的条件に依存している。
• 𝔥̃^{[n]}_𝒜 上の普遍ファミリーは、階数 n の局所自由な 𝒜_X-加群で、全域的生成元と基底を持つものであり、必要な普遍性を満たす。
• π による降下により、𝔥^{[n]}_𝒜 上の準連接層の圏と、𝔥̃^{[n]}_𝒜 上の GLₙ-不変な準連接層の圏との同値性が成立する。