[論文レビュー] Hilbert-Schmidt Hankel operators with anti-holomorphic symbols on complete pseudoconvex Reinhardt domains

Mehmet Çeli̇k, Yunus E. Zeytuncu|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℂ²における完全強擬凸 Reinhardt 領域において、非ゼロの Hilbert-Schmidt Hankel 級数作用素が、反正則な記号に対して存在しないことを確立している。これは、そのような作用素が定数でない限り恒等的に消えることを示している。この結果は、単位球および有限型領域に関する先行研究を拡張し、擬凸性と先行研究における重要な推定式を用いることで得られている。一方で、非有界で非擬凸な領域の具体例も構成されており、それらでは反正則記号を持つ非ゼロの Hilbert-Schmidt Hankel 作用素が存在することが示されている。

ABSTRACT

On complete pseudoconvex Reinhardt domains in $\mathbb{C}^2$, we show that there is no nonzero Hankel operator with an anti-holomorphic symbol that is Hilbert-Schmidt. We also present examples of unbounded non-pseudoconvex domains that admit nonzero Hilbert-Schmidt Hankel operators with anti-holomorphic symbols.

研究の動機と目的

• 完全強擬凸 Reinhardt 領域において、反正則記号を持つ Hankel 作用素が Hilbert-Schmidt となるための記号の特徴付け。
• 有限型の仮定を外して、単位球および有限型領域に関する先行結果を拡張すること。
• 擬凸性が非自明な Hilbert-Schmidt Hankel 作用素の存在を防ぐ重要な条件であることを示すこと。
• 非自明な Hilbert-Schmidt Hankel 作用素を許容する非有界で非擬凸な Reinhardt 領域の具体例を構成すること。
• Bergman 空間の構造と単項式基底の直交性が、Hilbert-Schmidt 性質を決定する要因として果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 完全 Reinhardt 領域における Bergman 空間 A²(Ω) の正規直交単項式基底 {z^γ / c_γ} を用いる分析で、c_γ² = ∫_Ω |z^γ|² dV である。
• Hankel 作用素 H_̄f は A²(Ω) 上で (I−P)(f̄g) として定義され、f ∈ A²(Ω) であり、その Hilbert-Schmidt 範数は ∑_γ ||H_̄f(e_γ)||² として計算される。
• 証明は、先行研究における重要な推定式（[3] の式 (4)）に依拠しており、Ω の擬凸性を明示的に用いて Bergman 核係数の成長を制御する。
• 多重指数 α に対して、S_α = ∑_k |c_{(k+α,k+α)}² / c_{(k,k)}² − c_{(k,k)}² / c_{(k−α,k−α)}²| の和を分析し、擬凸性のもとで非ゼロ α に対して発散することを示す。
• 反例の構成では、領域 X₁, X₂, X₃ および Bₘ を用いて非有界で非擬凸な領域 Ω₀ と Ω_k を構成し、Bergman 空間が (z₁z₂)^j で張られるようにする。
• 明示的計算により、S_(1,1) ≈ ∑ 1/k²（k が大きいとき）であり、これは収束することを示し、Ω₀ 上で f(z) = z₁z₂ のとき H_̄f が Hilbert-Schmidt であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ²における完全強擬凸 Reinhardt 領域では、反正則記号を持つ Hankel 作用素がいつ Hilbert-Schmidt となるか。
• RQ2 単位球において非自明な Hilbert-Schmidt Hankel 作用素が存在しないという事実は、有限型の仮定を外したより一般的な完全強擬凸 Reinhardt 領域へも拡張可能か。
• RQ3 非有界で非擬凸な Reinhardt 領域は、反正則記号を持つ非ゼロの Hilbert-Schmidt Hankel 作用素を許容できるか。
• RQ4 Bergman 空間および単項式基底の構造的性質は、Hankel 作用素の Hilbert-Schmidt 範数の収束・発散にどのように寄与するか。
• RQ5 ∂̄-問題の標準的解作用素（(0,1)-形式で係数が正則関数である場合）は、これらの領域上での Hankel 作用素の Hilbert-Schmidt 性とどのように関係するか。

主な発見

• ℂ²における任意の完全強擬凸 Reinhardt 領域において、H_̄f が Hilbert-Schmidt となる唯一の記号 f ∈ A²(Ω) は定数関数である。
• 証明は、非ゼロの多重指数 α に対して S_α の和が発散することに依拠しており、これは Ω の擬凸性と [3] の式 (4) における重要な推定式から導かれる。
• 非有界で非擬凸な領域 Ω₀ = X₁ ∪ X₂ ∪ X₃ に対して、Bergman 空間 A²(Ω₀) は無限次元であり、{(z₁z₂)^j}_{j=0}^∞ で張られる。
• Ω₀ 上で f(z) = z₁z₂ のとき、Hankel 作用素 H_̄f は S_(1,1) が ∑ 1/k² と漸近的に同じように収束するため、Hilbert-Schmidt である。
• 有限次元領域 Ω_k に対しては、定義域が有限次元であるため、任意の f ∈ A²(Ω_k) に対して H_̄f は Hilbert-Schmidt である。
• 完全強擬凸 Reinhardt 領域上での (0,1)-形式で係数が正則関数である ∂̄-問題の標準的解作用素は Hilbert-Schmidt ではない。これは、非 Hilbert-Schmidt な Hankel 作用素の和に分解されるからである。