[論文レビュー] Hilbert series of graded Milnor algebras and roots of Bernstein-Sato polynomials

Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ミルナー代数のヒルベルト系列が原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根を一意に決定しないことを示している。これは、ミルナー代数のヒルベルト系列が同一であっても、原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根の集合が異なる場合があることから、一意性の予想を反証するものである。Macaulay2およびRISA/ASIRを用いた明示的計算により、同じヒルベルト系列を持つが、原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根が異なる2つの同次多項式が構成され、ミルナー代数の torsion 要素が常に期待される根を寄与するわけではないことが明らかになった。

ABSTRACT

We show that there is a pair of homogeneous polynomials such that the sets of roots of their Bernstein-Sato polynomials which are strictly supported at the origin are different although the sets of roots which are not strictly supported at the origin are the same and moreover their graded Milnor algebras have the same Hilbert series. This shows that the roots of the Bernstein-Sato polynomials strictly supported at the origin cannot be determined uniquely by the Hilbert series of the Milnor algebras. This is contrary to certain hyperplane arrangement cases. It also implies that a nonzero torsion element with pure degree in the Milnor algebra does not necessarily contribute to a root of the Bernstein-Sato polynomial in an expected way. This example is found by using Macaulay2 and RISA/ASIR.

研究の動機と目的

• ミルナー代数のヒルベルト系列が原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根の集合を一意に決定するかを調査すること。
• ヒルベルト系列が一意に決定するという予想を、超平面配置の既知の結果と対比させながら検証すること。
• ミルナー代数における torsion 要素がベーリング＝サト多項式の根に与える寄与の役割を明確にすること。
• 計算代数を用いて、極順序スペクトル系列の微分が $E_1$-項にのみ依存するのではなく、同型な $E_1$-項であっても異なる $E_\infty$-項をもたらす可能性があることを示すこと。

提案手法

• 3変数における同次多項式 $f_1 = x^5 + y^4z + x^4y$ および $f_2 = x^5 + y^4z + x^3y^2$ を構成し、それぞれ5次で孤立特異点を持つこと。
• Macaulay2を用いてミルナー代数のヒルベルト系列を計算し、両者で同一であることを確認すること。
• RISA/ASIRを用いて原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根を計算し、$8/5 \in R^0_{f_2} \setminus R^0_{f_1}$ であることを明らかにすること。
• 極順序スペクトル系列および極順序フィルトレーション $P$ を用いて、コhomological データとベーリング＝サト多項式の根を関連付けること。
• 要素の根への寄与を定義するために、自然な全射 $M_k \twoheadrightarrow \mathrm{Gr}^p_P H^{n-1}(f^{-1}(1), \mathbb{C})_\lambda$ を適用すること。
• ミルナーコホモロジーへの自然な準同型が $M'$ から存在しないことの理論的分析を行い、torsion 要素とモノドロミー固有値の間に自然な対応関係がないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根の集合は、ミルナー代数のヒルベルト系列によって一意に決定可能か？
• RQ2 ミルナー代数に非ゼロの torsion 要素が存在する場合、常にその寄与が予測可能に根を生成するのか？
• RQ3 極順序スペクトル系列の微分 $d_r$ は $E_1$-項にのみ依存するのか、それとも同型な $E_1$-項であっても変化しうるのか？
• RQ4 特に超平面配置の設定とは異なる文脈において、ヒルベルト系列が原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根を決定するという予想に対する反例は存在するか？

主な発見

• Macaulay2による計算により、$f_1$ および $f_2$ のミルナー代数のヒルベルト系列が同一であることが確認された。
• 同じヒルベルト系列であっても、原点に特異的に支持されるベーリング＝サト多項式の根の集合は異なる：RISA/ASIRによる計算で $8/5 \in R^0_{f_2}$ であるのに対し、$8/5 \notin R^0_{f_1}$ であることが判明した。
• 両者において、ミルナー代数の torsion 部分について $\dim M'_8 = 1$ および $\dim M'_9 = 0$ が成り立つため、非ゼロの torsion 要素が根に寄与するとは限らないことが示された。
• 自然な準同型 $M_k' \to \mathrm{Gr}^p_P H^{n-1}(f^{-1}(1), \mathbb{C})_\lambda$ は単射ではなく、$M'$ からミルナーコホモロジーへの自然な準同型も存在しないことから、期待される対応関係が崩れている。
• 極順序スペクトル系列の微分 $d_r$ は $E_1$-項によって一意に決定されない。同型な $E_1$-項であっても、異なる $E_\infty$-項をもたらす可能性がある。