[論文レビュー] Hilbert series of modules over Lie algebroids

Rolf Källström, Yohannes Tadesse|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Advanced Topics in Algebra被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有限長商のmoduloでモジュールを安定化する定義イデアルを用いて、リー代数的バンドル上のモジュールのヒルベルト級数を定義する。モジュールが最大定義イデアルに沿った局所系であるとき、ヒルベルト級数は有理関数であり、長さ関数は準多項式であることを証明する。これは非再帰的リー代数的バンドル作用へのヒルベルトの定理の拡張であり、複素解析的特異点および単項イデアルへの応用を含む。

ABSTRACT

We consider modules $M$ over Lie algebroids ${\mathfrak g}_A$ which are of finite type over a local noetherian ring $A$. Using ideals $J\subset A$ such that ${\mathfrak g}_A \cdot J\subset J $ and the length $\ell_{{\mathfrak g}_A}(M/JM)< \infty$ we can define in a natural way the Hilbert series of $M$ with respect to the defining ideal $J$. This notion is in particular studied for modules over the Lie algebroid of $k$-linear derivations ${\mathfrak g}_A=T_{A/k}(I)$ that preserve an ideal $I\subset A$, for example when $A={\mathcal O}_n$, the ring of convergent power series. Hilbert series over Stanley-Reisner rings are also considered.

研究の動機と目的

• 有限長商のmoduloでモジュールを安定化する定義イデアルを用いて、リー代数的バンドル上のモジュールのヒルベルト級数を定義する。
• 非再帰的リー代数的バンドル作用へのヒルベルトの有限性定理を、ヒルベルト級数が有理関数となる条件を同定することで拡張する。
• 特に孤立特異点をもつ超曲面に対して、gA-モジュールの構造を分析する。
• 正則局所環における単項イデアルのヒルベルト級数を計算し、通常のヒルベルト級数を超える対称性由来の構造を明らかにする。
• リー代数的バンドルのファイバー代数が可解である条件を特定し、主要な場合において通常のヒルベルト級数への還元を可能にする。

提案手法

• gA · J ⊂ J かつ ℓA(M/JM) < ∞ を満たす A のイデアル J ⊂ A を定義し、G•_J(M) = ⊕n≥0 J^n M / J^{n+1} M のような次数付きモジュールの構成を可能にする。
• 各次数成分がファイバー代数 gk 上の局所系であるような、最大定義イデアル Jm 沿いの局所系の概念を導入する。
• 再帰的リー代数の不変式のヒルベルトの有限生成定理の拡張であるハドジエフの定理を用いて、ヒルベルト級数の有理関数性を証明する。
• ロッシの定理を適用して、最大イデアルが定義イデアルである場合に還元し、次数成分が局所系であることを保証する。
• 特に I ⊂ m2 または I = (f) で f ∈ m3 である場合に、On（収束べき級数環）上のリー代数的バンドルのファイバー代数 gC = gA / m gA を分析する。
• ファイバー代数の可解性（例えば、下部中心系列がゼロで終了すること）を用いて、有利な場合に gA-ヒルベルト級数と通常のヒルベルト級数を同一視する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義イデアル J に関して、gA-モジュール M のヒルベルト級数がいつ有理関数になるか。
• RQ2 長さ関数 n ↦ ℓgA(M / J^{n+1}M) がいつ準多項式関数になるか。
• RQ3 On 上のリー代数的バンドルのファイバー代数 gC がいつ可解になるか。また、その場合にヒルベルト級数にどのような意味があるか。
• RQ4 単項イデアルの対称性が、通常のヒルベルト級数と比較してリー代数的バンドル上のヒルベルト級数にどのように現れるか。
• RQ5 どの有限次元複素リー代数が、超曲面特異点のファイバー代数として現れるか。

主な発見

• M が最大定義イデアル Jm 沿いの局所系であるとき、ヒルベルト級数 HJ_M(t) は有理関数であり、非再帰的リー代数的バンドル作用へのヒルベルトの定理の一般化である。
• M が最大定義イデアル Jm 沿いの局所系であるとき、十分大きな n に対して長さ関数 ℓgA(M / J^{n+1}M) は準多項式関数である。
• f ∈ m3 のとき、Jf = (f) + TOn·f を持つリー代数的バンドル g = TOn(Jf) のファイバー代数 gC は可解であり、ヒルベルト級数は通常のヒルベルト級数と一致する。
• On/Jf ≅ On/Jg である f, g ∈ m に対して、HGJf(On)(t) = HGJg(On)(t) が成り立ち、モジュラー代数の同型に関して不変性が示される。
• ホワイトニーウェブランド（z² − x²y）の場合、ファイバー代数 gC は可解であり、下部中心系列の (l+1) 項目が消えることで示される。
• 3次式の判別式の場合、ファイバー代数は gl2(C) であり、O4 を TO4(I)-モジュールと見たときのヒルベルト級数は、ℓsl2(C)(Sn(m/m²)) の母関数である。次元 d = 2、重複度 e = 1/4 である。