[論文レビュー] Hilbert space shattering and dynamical freezing in the quantum Ising model

Oliver Hart, Rahul Nandkishore|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2022

Opinion Dynamics and Social Influence被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元横磁場イジング模型がU(1)保存則とZ2 1次元制約によってヒルベルト空間の破砕を示すことを示しており、その結果、動的につながりのないセクターが指数関数的に多く存在することになる。弱い破砕と強い破砕の間には1次相転移に類似した凍結転移が存在し、弱い regime では拡散的ドメインウォール運動が、特定の部分空間ではクエンチドディスオーダーが存在しない状況でも正確な局在化が見られる。

ABSTRACT

We discuss quantum dynamics in the transverse field Ising model in two spatial dimensions. We show that, up to a prethermal timescale, which we quantify, the Hilbert space 'shatters' into dynamically disconnected subsectors. We identify this shattering as originating from the interplay of a $\mathrm{U}(1)$ conservation law and a one-form $\mathbb{Z}_2$ constraint. We show that the number of dynamically disconnected sectors is exponential in system volume, and includes a subspace exponential in system volume within which the dynamics is exactly localized, even in the absence of quenched disorder. Depending on the emergent sector in which we work, the shattering can be weak (such that typical initial conditions thermalize with respect to their emergent symmetry sector), or strong (such that typical initial conditions exhibit localized dynamics). We present analytical and numerical evidence that a first order-like 'freezing transition' between weak and strong shattering occurs as a function of the symmetry sector, in a non-standard thermodynamic limit. We further numerically show that on the 'weak' (melted) side of the transition domain wall dynamics follows ordinary diffusion.

研究の動機と目的

• クエンチドディスオーダーが存在しない2次元横磁場イジング模型（TFIM）における動的凍結とヒルベルト空間の破砕の起源を理解すること。
• 特にU(1)保存則とZ2 1次元制約という発生的対称性が、指数的多数の動的につながりのないクリロフセクターを生成する役割を特定すること。
• 熱力学的極限において弱い破砕と強い破砕の間の相転移が存在するかを調査し、その性質を同定すること。
• 特に弱い破砕相におけるドメインウォールの輸送特性を特定すること。

提案手法

• スクリフェル＝ウルフ変換を用いて、ドメインウォール数を (h/J)^k までの摂動的に保存する有効ハミルトニアンを導出することで、移動性の摂動的解析を可能にする。
• ハミルトニアンの隣接行列上で幅優先探索を用いた正確な状態列挙により、動的につながりのあるクリロフセクターを分類する。
• Z2およびU(1)対称性に起因する古典的運動制約をモデル化するため、確率的セルオートマトン回路を用いたダイナミクスの数値シミュレーション。
• 古典的マルコフ過程における可約性の遷移を、量子的凍結転移の代理として特定する。
• ドメインウォールを生成または消滅させる演算子 T_n を構築し、[Q, T_n] = nT_n および T_n^† = T_{-n} を満たすことで、体系的な摂動論を可能にする。
• 有効ハミルトニアン H' = 2JQ - hT_0 + (h^2/4J)[T_2, T_{-2}] + (h^2/8J)[T_4, T_{-4}] + ... の分析により、孤立したドメインウォールが h/J の2次に於いて [T_2, T_{-2}] 項によって移動可能になることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチドディスオーダーが存在しない2次元横磁場イジング模型におけるヒルベルト空間の破砕の起源は何か？
• RQ2 U(1)保存則とZ2 1次元制約の相乗作用が、指数的多数の動的につながりのないセクターをどのように生成するか？
• RQ3 熱力学的極限において、弱い破砕と強い破砕の間で1次相転移に類似した凍結転移が発生するか？
• RQ4 弱い破砕相における輸送の性質は何か？ そして、強い破砕相とはどのように異なるか？
• RQ5 凍結転移は、基礎となる古典的マルコフ過程における可約性の遷移として理解できるか？

主な発見

• U(1)ドメインウォール数保存則とZ2 1次元制約の併存により、2次元TFIMのヒルベルト空間は指数的多数の動的につながりのないクリロフセクターに破砕される。
• 弱い破砕状態（例：半分満たし状態）では、ドメインウォールのダイナミクスは通常の拡散に従い、セクター内での典型的な熱化と整合的である。
• 弱い破砕と強い破砕の間を分かつ1次相転移に類似した凍結転移が存在し、この転移は N_DW ∝ L^2 となる非標準的熱力学的極限で発生する。
• 強い破砕状態では、系の体積に対して指数的に大きな部分空間が存在し、クエンチドディスオーダーが存在しない状況でも正確な局在化を示す。
• この転移は、ドメインウォールの確率的ダイナミクスを支配する古典的マルコフ過程における可約性の遷移として特徴づけられる。
• h/J の2次に於いて、孤立したドメインウォールは有効ハミルトニアンの [T_2, T_{-2}] 項により移動可能となり、弱い状態で拡散を可能にする。