[論文レビュー] Hilbert Spaces for Nonrelativistic and Relativistic "Free" Plektons (Particles with Braid Group Statistics)

Jens Mund, Robert Schrader|ArXiv.org|Oct 8, 1993

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、2次元空間でブレード群統計を示す任意の粒子（アリオン的性質を持つ「自由」プレクトン）のヒルバート空間を、固有のファイバー束に基づいて記述する。幾何学的および群論的手法を用いて、それぞれのガリレオ群およびポアンカレ群のユニタリ表現およびレイ表現を構成し、相対論的状況においてリボンブレード群統計を含めるように枠組みを拡張する。これにより、任意の粒子の量子場理論に対する厳密な基礎が提供される。

ABSTRACT

Using the theory of fibre bundles, we provide several equivalent intrinsic descriptions for the Hilbert spaces of $n$ ``free'' nonrelativistic and relativistic plektons in two space dimensions. These spaces carry a ray representation of the Galilei group and a unitary representation of the Poincaré group respectively. In the relativistic case we also discuss the situation where the braid group is replaced by the ribbon braid group.

研究の動機と目的

• 2+1次元においてブレード群統計を示すn体の『自由』プレクトンのヒルバート空間を、内在的で幾何学的な記述で与えること。
• これらのヒルバート空間上でポアンカレ群のユニタリ表現およびガリレオ群のレイ表現を確立すること。
• 相対論的状況においてリボンブレード群統計を含めるように枠組みを拡張すること。
• ファイバー束技術を用いて、非相対論的および相対論的量子場理論における任意の粒子統計を統一的に記述すること。

提案手法

• ファイバー束理論を用いて、ガリレオ群およびポアンカレ群の表現を担うヒルバート空間を構成すること。
• 幾何的量子化およびホロノミー構造を用いて、ヒルバート空間構造にブレード群統計を符号化すること。
• トポロジカル制約を課えた配置空間上の複素線束の切断の空間としてヒルバート空間を定義すること。
• そのバンドル上に接続を導入し、そのホロノミーがブレード群統計を実現すること。
• バンドル構造にフレーミング自由度を組み込むことで、リボン構造を含めるように構成を拡張すること。
• 非相対論的および相対論的時空の物理的対称性と表現の整合性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相対論的プレクトンのブレード群統計を示すヒルバート空間を、幾何的構造を用いてどのように内在的に記述できるか？
• RQ2 ファイバー束は、任意の粒子に対するガリレオ群のレイ表現を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 2+1次元において、ブレード群統計を示す相対論的プレクトンは、ポアンカレ群の下でどのように変換するか？
• RQ4 この枠組みは、相対論的状況においてリボンブレード群統計を含めるように拡張可能か？
• RQ5 ホロノミーおよび位相的位相を用いた場合、任意の粒子統計の幾何的起源は何か？

主な発見

• n体の非相対論的プレクトンのヒルバート空間は、R²内にn個の相異なる点からなる配置空間上の、平方可積分な切断からなる複素線束として実現され、ホロノミーがブレード群統計を符号化している。
• ガリレオ群は、このヒルバート空間上でレイ表現として作用し、任意の粒子統計および非相対論的対称代数と整合的である。
• 相対論的状況では、ポアンカレ群が同様のヒルバート空間構造上でユニタリに作用し、ブレード群はバンドル上の平坦な接続のホロノミーによって実現される。
• フレーミング自由度をバンドル構造に組み込むことで、リボンブレード群の整合的拡張が構成され、トポロジカル量子場理論において関連する。
• 修正版（v2）は、付録の誤りを是正し、表現理論の数学的整合性を保証している。
• この枠組みは、2+1次元における任意の粒子の量子場理論を、非相対論的および相対論的両状況を統一的に扱う、厳密な幾何的基盤を提供する。