[論文レビュー] Hirzebruch-Riemann-Roch Formulae on Irreducible Symplectic Kähler Manifolds

Michael Britze, Marc A. Nieper|ArXiv.org|Jan 8, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ベイルヴィル＝ボゴモロフの二次形式を用いて、非可約シンプレクティックケーラー多様体上のラインバンドルのオイラー標数を表すヒルツェブルー・リーマン・ローチの公式を確立する。ロザンスキー＝ウィットン類および代数幾何学的技法を用いて、$n \leq 5$ までの一般化されたクマーマニフォールド $K^nA$ のチャーン数の明示的公式を導出。$n \leq 4$ の既存の結果を拡張し、$K^nA$ に対して $\chi(L) = (n+1)inom{q(c_1(L))/2 + n}{n}$ を証明。主たる貢献は、特徴的類およびグラフホモロジーを用いた一貫したチャーン数の計算である。

ABSTRACT

In this article we investigate Hirzebruch-Riemann-Roch formulae for line bundles on irreducible symplectic Kähler manifolds. As Huybrechts has shown, for every irreducible complex Kähler manifold $X$ of dimension $2n$, there are numbers $a_0, a_2, ..., a_{2n}$ such that $χ(L) = \sum_{k = 0}^n a_{2k}/(2k)! q_X(c_1(L))^k$ for the Euler characteristic of a line bundle $L$, where $q_X: H^2(X, \mathbbm C) o \mathbbm C$ is the Beauville-Bogomolov quadratic form of $X$. Using Rozansky-Witten classes similar to Hitchin and Sawon, we obtain a formula expressing the $a_{2k}$ in terms of Chern numbers of $X$. Furthermore, for the $n$-th generalized Kummer variety $\KA n$, we prove $χ(L) = (n + 1) \binom{q(c_1(L)) / 2 + n} n$ by purely algebro-geometric methods, where $q$ is the form $q_X$ up to a positive rational constant. A similar formula is already known for the Hilbert scheme of zero-dimensional subschemes of length $n$ on a K3-surface. Using our results, we are able to calculate all Chern numbers of the generalized Kummer varieties $\KA n$ for $n \leq 5$. For $n \leq 4$ these results were previously obtained by Sawon.

研究の動機と目的

• 非可約シンプレクティックケーラー多様体 $X$ 上のラインバンドル $L$ のオイラー標数 $\chi(L)$ に対するヒルツェブルー・リーマン・ローチの公式を導出すること。
• リーマン・ローチ展開における係数 $a_{2k}$ を、ロザンスキー＝ウィットン類を用いて $X$ のチャーン数の関数として表現すること。
• 一般化されたクマーマニフォールド $K^nA$ のすべてのチャーン数を、代数幾何学的技法を用いて $n \leq 5$ に対して計算すること。
• K3表面のヒルベルトスキームにおける $\chi(L)$ の既知の公式を、一般化されたクマーマニフォールドへと一般化すること。

提案手法

• 特徴的類とベイルヴィル＝ボゴモロフの二次形式 $q_X$ を結びつけるためのロザンスキー＝ウィットン類を用いる。
• グラフホモロジー技法を適用し、特にチャーン・キャラクターとToddクラスの構造を解析する。
• $\varepsilon$-変形を用いた $K^0$-環上のグロテンディーク環におけるチャーン・キャラクターとToddクラスを用い、$\mathrm{td}_\varepsilon(X)$ を定義し、精密化されたリーマン・ローチの公式を可能にする。
• $\psi^p$-アダムズ作用素と $\varepsilon$-ねじれチャーン・キャラクターを用いて、$K^0(X,\mathbb{C})$ 上の同型写像 $\phi_\varepsilon$ を定義し、新たなリーマン・ローチ表現を導出する。
• 一般化されたクマーマニフォールド $K^nA$（$s: A^{[n]} \to A$ の合計写像のファイバーとして定義）に対して代数幾何学的技法を適用し、$\chi(L)$ の閉形式の公式を導出する。
• 二次形式 $q_X$ とオイラー標数の間の関係を、$K^nA$ に対して $\chi(L) = (n+1)\binom{q(c_1(L))/2 + n}{n}$ という式を通じて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約シンプレクティックケーラー多様体上のラインバンドルに対するヒルツェブルー・リーマン・ローチの公式は、ベイルヴィル＝ボゴモロフの二次形式を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 リーマン・ローチ展開における係数 $a_{2k}$ と多様体のチャーン数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 代数幾何学的技法を用いて、一般化されたクマーマニフォールド $K^nA$ 上のオイラー標数 $\chi(L)$ を閉形式で計算できるか？
• RQ4 ロザンスキー＝ウィットン類は、非可約シンプレクティック多様体上の特徴的類およびチャーン数の計算にどのように寄与するか？
• RQ5 一般化されたクマーマニフォールド $K^nA$（$n \leq 5$）の完全なチャーン数不変量は何か？

主な発見

• 非可約シンプレクティックケーラー多様体 $X$ 上のラインバンドル $L$ のオイラー標数は、$\chi(L) = \sum_{k=0}^n \frac{a_{2k}}{(2k)!} q_X(c_1(L))^k$ と表され、ここで $a_{2k}$ はロザンスキー＝ウィットン類を用いて $X$ のチャーン数の関数として表現可能である。
• 一般化されたクマーマニフォールド $K^nA$ に対して、$\chi(L) = (n+1)\binom{q(c_1(L))/2 + n}{n}$ が完全に代数幾何学的技法を用いて証明された。
• $n \leq 5$ に対して $K^nA$ のすべてのチャーン数が明示的に計算され、$n \leq 4$ の場合におけるサウンの結果を拡張した。
• リーマン・ローチ公式における係数 $a_{2k}$ がチャーン数の有理関数として示され、本手法により一貫した計算フレームワークが提供された。
• $\mathrm{td}_\varepsilon(X)$ および $\phi_\varepsilon$-ねじれToddクラスの使用により、シンプレクティック多様体におけるリーマン・ローチ計算に対する新たな精密化されたアプローチが得られた。
• 一般化されたクマーマニフォールド $K^nA$ が滑らかで、$A$ 内の原点の選び方に依存しないことが示され、移動を用いた $K^{n-1}A \times A$ への自然同型が存在する。