[論文レビュー] HISTABRUT: A Maple Package for Symbol-Crunching in Probability theory

Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

Advanced Database Systems and Queries参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

HISTABRUT は、多項式アンザッツ法と記号計算を用いて、1変量および特に2変量の離散確率分布のモーメントについて、任意の所望の次数まで厳密に明示的な漸近公式を導出する Maple パッケージである。このパッケージは、アーサイン分布のような正規分布でない極限分布の、完全に形式的で実験的数学に基づく解析を可能にし、正規漸近の範囲を超えて、多項式恒等式の検証による形式的証明により高次モーメントの漸近的性質を計算することで、拡張する。

ABSTRACT

One of the main uses of computers is to do statistical analysis of data. But, so far, the theory of statistics, and its noble mother, Probability theory, were all discovered and developed by lowly humans. No more! Computers can also develop probability theory (and statistics), and discover (and prove!) general theorems of much larger depth than those discovered by human-kind. Of course, at this time of writing, they still need these inferior humans to give them a head-start by teaching (i.e. programming) them to develop probability theory ab initio (only better!), but even this will soon be superfluous.

研究の動機と目的

• 漸近的正規性を超える離散確率変数の漸近的モーメント公式を、完全に記号的かつ形式的である計算フレームワークとして開発すること。
• 実験的数学における既存の手法を拡張し、1変量および2変量の離散分布の系列に対して、主項を超える高次モーメントの漸近的性質を計算すること。
• 多項式恒等式を用いた自動的発見と形式的検証により、モーメントの漸近的性質を正確に保証し、数値近似に依存しないこと。
• 有理生成関数とGoulden-Jackson法を用いて、ランダムな文字列における語の出現やギャンブラーの破綻時間といった複雑な確率過程の解析を支援すること。
• 将来の多変量分布や相関成分を有する非i.i.d.の漸近的正規極限への拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• パラメータ $ n $（系列のパラメータ）とモーメントの次数 $ r $ を用いて、正規化されたモーメント（偶数および奇数）の記号的表現を多項式アンザッツ法により推測する。
• 2変量語数分布のための有理生成関数 $ R(t,s) $ をGoulden-Jackson法により生成し、各 $ n $ に対して $ t $ における確率生成関数を符号化する。
• 厳密な検証として多項式恒等式を適用：次数 $ \leq d $ の2つの多項式が $ d+1 $ 個の異なる点で一致するならば、それらは同一である。この性質により、推測された公式の形式的正しさが保証される。
• 2変量の場合、ユーザーが指定した次数 $ R $ までに制限して、混合モーメント $ \mathbb{E}[X^r Y^s] $ を $ n $ の多項式として計算するが、一般の $ r $ および $ s $ における記号的表現はまだ達成されていない。
• `plotDist` や `EzraPGF()` といった手続きを統合し、制限分布の可視化や、事前にプログラム済みの離散分布の例へのアクセスを可能にする。
• モーメント解析により、漸近的独立性および正規性を自動的に同定し、相関が既知の場合には相関のある2変量極限へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号計算を用いて、1変量の離散確率分布の高次モーメントについて、明示的かつ形式的検証された漸近的公式を導出できるか？
• RQ2 モーメント法を主項の漸近的正規性の範囲を超えて、記号的表現で完全な漸近展開を計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 特に漸近的独立でない場合に、2変量の離散確率変数を分析するための計算的および理論的枠組みは何か？
• RQ4 Goulden-Jackson法により得られる有理生成関数を、形式的証明によるモーメント漸近的性質の計算に体系的に応用できるか？
• RQ5 3変量および多変量分布への拡張を実現するためのアルゴリズム的および記号的手段は何か？

主な発見

• HISTABRUT は、1変量の離散分布の正規化されたモーメント（偶数および奇数）について、任意の所望の次数まで記号的漸近式を計算し、多項式恒等式による検証により完全に形式的であることを保証している。
• このパッケージは、正規近似を超える高次モーメントの漸近的性質を計算することで、特定の離散確率変数の系列が非正規極限分布（例：アーサイン分布）に収束することを形式的証明している。
• 2変量分布の場合、ユーザーが指定した $ r,s \leq R $ までに制限して、混合モーメント $ \mathbb{E}[X^r Y^s] $ の明示的な $ n $ に関する多項式表現を計算しているが、一般の $ r $ および $ s $ における記号的表現は未達成のままである。
• この方法により、漸近的正規性が定性的にではなく定量的に確認され、偶数モーメントでは $ 1\cdot3\cdot5\cdots(2r-1) $ の完全なモーメント系列が回復され、奇数モーメントはゼロとなる。形式的証明は $ d+1 $ 回の評価による。
• このパッケージは、ランダムな文字列における語の出現やギャンブラーの破綻時間といった複雑な確率過程の解析が可能であり、有理生成関数とGoulden-Jackson法を入力として使用する。
• 手続き `AnalyseMoms2` は、漸近的独立な2変量正規極限を特定し、$ (2r,2s) $、$ (2r+1,2s) $、$ (2r,2s+1) $、$ (2r+1,2s+1) $ の場合について、記号的表現で漸近的混合モーメントを計算する。