[論文レビュー] History-Deterministic Vector Addition Systems

Sougata Bose, David Purser+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限語の言語に対する履歴決定的ベクトル加法システム（HD-VASS）を調査し、あらゆる次元において、決定的VASSと非決定的VASSの間の厳密な中間クラスを形成することを示している。主な貢献は、2次元VASSに対して、HD性、言語包含、正則性といった基本的な意思決定問題が、カバレビリティ意味論のもとでも、2カウンターミンスキー機械をシミュレートできるHD-VASSの能力により、決定不能であることを証明することにある。

ABSTRACT

We consider history-determinism, a restricted form of non-determinism, for Vector Addition Systems with States (VASS) when used as acceptors to recognise languages of finite words. History-determinism requires that the non-deterministic choices can be resolved on-the-fly; based on the past and without jeopardising acceptance of any possible continuation of the input word. Our results show that the history-deterministic (HD) VASS sit strictly between deterministic and non-deterministic VASS regardless of the number of counters. We compare the relative expressiveness of HD systems, and closure-properties of the induced language classes, with coverability and reachability semantics, and with and without $\varepsilon$-labelled transitions. Whereas in dimension 1, inclusion and regularity remain decidable, from dimension two onwards, HD-VASS with suitable resolver strategies, are essentially able to simulate 2-counter Minsky machines, leading to several undecidability results: It is undecidable whether a VASS is history-deterministic, or if a language equivalent history-deterministic VASS exists. Checking language inclusion between history-deterministic 2-VASS is also undecidable.

研究の動機と目的

• 履歴決定的VASS（HD-VASS）の表現力と閉包性を、有限語の言語に関して検討する。
• 言語認識能力の観点から、HD-VASSを決定的VASSおよび非決定的VASSと比較する。特に、次元の変化に応じてどのように変化するかを検討する。
• カバレビリティ、到達可能性といった異なる受容意味論（カバレビリティ、到達可能性）およびε遷移の有無の有無にかかわらず、HD-VASSにおけるHD性、言語包含、正則性といった主要な意思決定問題の決定可能性を調査する。
• HD-VASSが2カウンターミンスキー機械のような強力な計算モデルをシミュレートできることを示し、その結果として決定不能性が生じることを確立する。
• 先行研究における1次元HD-VASSに関する未解決問題、特に決定化と表現力に関して、解決を試みる。

提案手法

• 各ステップで言語最大の遷移を選択するリゾルバ戦略を構築し、ある実行が存在する場合に受理を保証する。
• HD-VASS内での2カウンターミンスキー機械（2CM）のシミュレーションを用いて、決定不能性の結果を示し、HD-VASSが履歴依存的解釈を用いて非決定的選択をシミュレートできることを活用する。
• 既知の決定不能問題（例：2CMの普遍性問題や有限性問題）をHD-VASS上の意思決定問題に還元し、論理的および構造的変換を用いて決定不能性を証明する。
• 具体的なVASS例（例：L4 = {a^n b^{≤n} | n ∈ ℕ}）を構築し、ある言語が1次元でもHD認識不能であることを示す。
• パーキュ・オートマトンおよびOCA理論からの構成を適応し、1-HD-VASSを二重指数的増大を伴う決定的OCAに変換できることを示し、1次元における正則性の決定可能性を可能にする。
• well-quasi-orderingおよびポンピングの議論を適用し、無限配置がDFAのサイクル性質を破るため、2次元における決定不能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての次元において、履歴決定的VASSが認識する言語のクラスは、決定的VASSより表現力が強く、非決定的VASSより表現力が弱いか、すなわち厳密な中間クラスを形成するか？
• RQ2 HD性、言語包含、正則性といった意思決定問題は、HD-VASSに対して決定可能か。また、次元および受容意味論に依存するか？
• RQ3 2次元HD-VASSは2カウンターミンスキー機械をシミュレート可能か。その結果、決定不能性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 与えられた非決定的VASSに対して、同等の履歴決定的VASSが存在するかどうかは、特に2次元において決定可能か？
• RQ5 1次元HD-VASSは決定化可能か。また、その結果として正則性のチェックが決定可能になるか？

主な発見

• HD-VASSは、1次元を含むあらゆる次元において、決定的VASSと非決定的VASSの間の厳密な中間クラスを形成する。
• カバレビリティおよび到達性意味論の両方において、2次元VASSが履歴決定的であるかどうかをチェックすることは、決定不能である。
• 2次元履歴決定的VASS同士の言語包含は、カバレビリティ意味論のもとでも決定不能である。
• 2-HD-VASSが正則言語を認識するかどうかをチェックすることは、2カウンターミンスキー機械の有限性問題の決定不能性に起因し、決定不能である。
• 2次元において決定不能であるが、1次元HD-VASSにおける正則性は決定可能であり、複雑性上界はEXPSPACEである。
• 1-HD-VASSは、二重指数的増大を伴う同等の決定的OCAに変換可能であり、これにより1次元における正則性の決定可能性が保証される。