[論文レビュー] History of the formulas and algorithms for pi

Jesús Guillera|ArXiv.org|Jul 5, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、正多角形を用いたアルキメデスの幾何的近似から、現代の超幾何級数および記号的証明手法に至るまで、πを計算するための公式とアルゴリズムの歴史的発展をたどる。ヴィエートの無限嵌め込みルート、ウォリスの無限積、ニュートンの二項級数、ラマヌジャン型級数といった重要な進展を強調し、ウィルフ＝ツァイレルバーガー（WZ）法による厳密な証明と、PSLQアルゴリズムによる数値的探索を通じて、1/π、1/π²、1/π³に関する新しい恒等式に至る。

ABSTRACT

Throughout more than two millennia many formulas have been obtained, some of them beautiful, to calculate the number pi. Among them, we can find series, infinite products, expansions as continued fractions and expansions using radicals. Some expressions which are (amazingly) related to pi have been evaluated. In addition, a continual battle has been waged just to break the records computing digits of this number; records have been set using rapidly converging series, ultra fast algorithms and really surprising ones, calculating isolated digits. The development of powerful computers has played a fundamental role in these achievements of calculus.

研究の動機と目的

• 2000年以上にわたるπの計算のための数学的公式とアルゴリズムの進化を記録すること。
• πの計算における幾何的近似から解析的および超幾何級数への移行を説明すること。
• ウィルフ＝ツァイレルバーガー（WZ）法を用いて、1/πおよび関連定数の無限級数恒等式を厳密に証明する方法を示すこと。
• PSLQアルゴリズムが、1/π、1/π²、1/π³に関する新しいラマヌジャン型級数の発見にどのように寄与するかを説明すること。
• 階乗や2、5、41の累乗を含む新しい級数恒等式を提示し、高度な記号的および数値的技法を用いてその妥当性を検証すること。

提案手法

• 3·2ⁿ本の辺をもつ内接および外接多角形を用いたアルキメデスの反復的アルゴリズムでπの上下界を求める。三角法的恒等式を用いて収束性を証明する。
• 単位直径の円において、多角形の辺数を繰り返し2倍することで導かれるヴィエートの無限嵌め込みルートによる2/πの公式。
• ウォリスの2/πに対する無限積。オスラーによる一般化を通じてヴィエートの公式と統合された。
• ニュートンの√(x−x²)の二項展開を用いてπの級数を導出し、二項定理を用いて幾何的面積を統合する。
• グレゴリー＝ライプニッツ級数：1/(1+x²)の幾何級数を項別に積分することでπ/4を得る。x=1/√3を用いることで改良がなされた。
• ウィルフ＝ツァイレルバーガー（WZ）法を応用し、F(n+1,k)−F(n,k)=G(n,k+1)−G(n,k)を満たすWZペア (F,G) を構成することで、1/πおよび1/π²の超幾何級数恒等式を証明する。
• PSLQアルゴリズムを用いて、1/π²および1/π³に関する新しい予想的級数を発見。階乗および2、5、41の累乗を含むものも含まれる。
• 和の望ましい収束性と極限値を用いた証明：∑G(n,k) = 4/π および ∑G(n,k) = 8/π² を、limₖ→∞ G(0,k) を評価することで示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アルキメデスの多角形に基づくアルゴリズムは、幾何的推論のみを用いてどのようにπの上下界を達成したか？
• RQ2 ヴィエートの無限嵌め込みルート公式は、πの計算における歴史的進歩においてどのような意義を持つのか？
• RQ3 微積分の登場が、ニュートンの級数やグレゴリー＝ライプニッツ級数のような新しい解析的級数の出現にどのように寄与したか？
• RQ4 ウィルフ＝ツァイレルバーガー（WZ）法は、1/πの超幾何級数恒等式を厳密かつ自動的に証明するためにどのように機能するのか？
• RQ5 PSLQアルゴリズムは、1/π²および1/π³に関する新しい予想的級数の発見にどのような役割を果たし、それらはどのように検証されるのか？

主な発見

• アルキメデスのアルゴリズムは、96辺の多角形を用いて、3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 という境界を導き、小数第2位まで正確であった。
• ヴィエートの無限嵌め込みルート公式は、πについて9桁の精度に達し、3.141592653を生成した。
• ニュートンの二項級数近似は、1665年にπについて15桁の精度に達した。これは二項展開の積分から導かれた。
• WZ法は、恒等式 ∑ₙ₌₀^∞ (1/2⁸ⁿ) · (2n)!³(2k)!² / (n!⁶(n+k)!²) · (6n+4k+1) = 4/π を、すべてのkに対して証明に成功した。k=0のとき、ラマヌジャンの級数が得られる。
• PSLQアルゴリズムにより、予想的級数 ∑ₙ₌₀^∞ (6n)!(-1)ⁿ / (2880³ⁿ n!⁶) · (5418n²+693n+29) = 128√5/π² が発見されたが、未だ未証明のままである。
• ウラジミール・ズディリンは、2次変換を用いてwₙを含む新しい恒等式を証明した。例えば、∑ₙ₌₀^∞ wₙ(4n)!/(n!²(2n)!) · (18n²−10n−3)/(2⁸5²)ⁿ = 10√5/π² であり、組合せ的係数とπ⁻²を結びつける。