[論文レビュー] History-state Hamiltonians are critical

Carlos E. González-Guillén, Toby S. Cubitt|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

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ひとこと要約

この論文は、量子計算をその基底状態に符号化するために用いられる歴史状態ハミルトニアンが、すべて臨界的でなければならないことを証明している。つまり、系のサイズ $n$ に対して、そのスペクトルギャップは少なくとも $O(1/n)$ の速度で閉じる。この結果は、ギャップ付きハミルトニアンにおけるQMA-ハードネス、あるいはアディアバティック量子計算におけるBQP-完全性を達成するには、歴史状態構成法に限界があることを示唆しており、このような構成法は熱力学的極限においてギャップが消えることが本質的である。

ABSTRACT

All Hamiltonian complexity results to date have been proven by constructing a local Hamiltonian whose ground state -- or at least some low-energy state -- is a "computational history state", encoding a quantum computation as a superposition over the history of the computation. We prove that all history-state Hamiltonians must be critical. More precisely, for any circuit-to-Hamiltonian mapping that maps quantum circuits to local Hamiltonians with low-energy history states, there is an increasing sequence of circuits that maps to a growing sequence of Hamiltonians with spectral gap closing at least as fast as O(1/n) with the number of qudits n in the circuit. This result holds for very general notions of history state, and also extends to quasi-local Hamiltonians with exponentially-decaying interactions. This suggests that QMA-hardness for gapped Hamiltonians (and also BQP-completeness of adiabatic quantum computation with constant gap) either require techniques beyond history state constructions. Or gapped Hamiltonians cannot be QMA-hard (respectively, BQP-complete).

研究の動機と目的

• 歴史状態ハミルトニアンが熱力学的極限においてギャップ付きであるか、あるいは本質的に臨界的であるかを特定すること。
• 低エネルギーの歴史状態を伴う回路からハミルトニアンへの写像によって構築されたハミルトニアンのスペクトルギャップの挙動を分析すること。
• このような構成が、特定の歴史状態や相互作用構造にかかわらず、スペクトルギャップが少なくとも $O(1/n)$ の速度で閉じることを確立すること。
• 指数的減衰する相互作用をもつ準局所的ハミルトニアンにこの結果を拡張し、臨界性の結果の適用範囲を広げること。
• 歴史状態構成法が本質的に臨界的である以上、定数ギャップを伴うアディアバティック量子計算によるQMA-ハードネスやBQP-完全性の実現可能性に疑問を呈すること。

提案手法

• 量子計算の履歴を時間の重ね合わせとして符号化する基底状態をもつ、一般化された歴史状態ハミルトニアンのクラスを定義。回路からハミルトニアンへの写像を用いる。
• 1キュービットあたりの相互作用強度の合計が有界であることを保証する正規化条件を導入。これにより、複製やアーキテクチャの追加による自明なギャップ拡大を防ぐ。
• ユニタリ群上での測度集中の技術を用い、局所的演算子の行列要素における大きな逸脱確率を制限する。
• ユニタリ $s$-デザインおよびハール測度の集中結果を用い、ユニタリ群の集中からランダム量子回路への集中へと移行する。
• 局所的ハミルトニアン項の空間にネットを構築し、すべての関連演算子における最大逸脱を制御するための和集合の上限を適用する。
• ランダム回路モデルから導かれる集中限界に反するならば、定数ギャップが成立できないことを示すことにより、スペクトルギャップが少なくとも $O(1/n)$ の速度で閉じることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような歴史状態ハミルトニアン構成でも、熱力学的極限において定数ギャップを維持できるか？
• RQ2 系のサイズが増加するに従い、歴史状態ハミルトニアンのスペクトルギャップが最小でどの程度の速度で閉じるか？
• RQ3 歴史状態ハミルトニアンの臨界性が、ギャップ付きハミルトニアンにおけるQMA-ハードネスの可能性を排除するか？
• RQ4 歴史状態構成法が本質的に臨界的であるならば、定数ギャップを伴うアディアバティック量子計算がBQP-完全性を達成できるか？
• RQ5 ギャップ付きでQMA-ハードなハミルトニアンを生成できる、歴史状態とは異なる代替的構成法は存在するか？

主な発見

• すべての歴史状態ハミルトニアンは、キュービット数 $n$ にかかわらず、スペクトルギャップが少なくとも $O(1/n)$ の速度で閉じる。これは、特定の回路からハミルトニアンへの写像に依存しない。
• この臨界性は、局所的および準局所的ハミルトニアン（指数的減衰する相互作用を伴う）に対しても、1キュービットあたりの相互作用強度に最小限の正規化条件が満たされていれば成立する。
• この結果は、ギャップ付きハミルトニアンにおけるQMA-ハードネスが、歴史状態構成法のみでは達成できないことを示唆しており、新たな技術の開発が不可欠である。
• スペクトルギャップの閉じる速度は、特定の歴史状態の形や相互作用グラフに依存しない。正規化条件が満たされていれば、常に同様の結果が得られる。
• 歴史状態ハミルトニアンの臨界性は、定数ギャップを伴うアディアバティック量子計算がBQP-完全でない可能性を示唆しており、代替の基底状態符号化法が必須である。
• 複製やアーキテクチャの追加といった自明なギャップ拡大戦略は分析によって除外され、それらはもともとギャップを人工的に増幅する可能性がある。