[論文レビュー] Hitchin harmonic maps are immersions

Andrew Sanders|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素単純 Lie 群の分裂実形式へのHitchin表現に関連する等長的調和写像が埋め込みであることを証明し、Higgs bundle のデータと調和写像の幾何的性質の間の直接的な関係を確立している。これらの埋め込みを通じて対称空間の計量を引き戻すことにより、著者らはHitchin表現から曲面のリーマン計量のホモトピー類への写像を構成し、対称空間における軌道の成長のエントロピーの新たな下界を得た。

ABSTRACT

In 1992, Hitchin used his theory of Higgs bundles to construct an important family of representations of the fundamental group of a closed, oriented surface of genus at least two into the split real form of a complex adjoint simple Lie group. These Hitchin representations comprise a component of the space of conjugacy classes of all such representations and are deformations of the irreducible Fuchsian representations which uniformize the surface. For any choice of marked complex structure on the surface and any Hitchin representation, we show that the corresponding equivariant harmonic map from the universal cover into the symmetric space is an immersion. Pulling back the Riemannian metric on the symmetric space, we construct a map from the space of Hitchin representations to the space of isotopy classes of Riemannian metrics on the surface. As an application of this procedure, we obtain a new lower bound on the exponential growth rate of orbits in the symmetric space under the action of the image of a Hitchin representation.

研究の動機と目的

• Hitchin表現に関連する等長的調和写像が埋め込みであることを確立することで、Higgs bundle のデータから幾何的構造を明らかにすること。
• 対称空間の計量を調和写像を通じて引き戻すことにより、Hitchin表現の空間から曲面のホモトピー類のリーマン計量の空間への写像を構成すること。
• Hitchin表現による対称空間における軌道の指数的成長率の新たな下界を導出すること。
• 調和写像の幾何的データが、間接的な解析的手法を回避して、Higgs bundle の不変量から直接抽出可能であることを示すこと。

提案手法

• 固定された複素構造を持つリーマン面における安定Higgs bundleとHitchin表現を非可換Hodge対応を用いて関連付ける。
• Corletteの等長的調和写像の存在および一意性定理を適用し、普遍被覆から対称空間 G/K への一意な調和写像の存在を保証する。
• Higgs bundle のデータを用いて微分の正則的部を分析することで、調和写像の微分が単射（つまり、写像が埋め込みである）であることを証明する。
• 調和写像を介して G-不変な G/K 上のリーマン計量を引き戻し、デック群作用に関して不変な普遍被覆上のリーマン計量を得る。
• 誘導された計量が商曲面 Σ に引き続き定義可能であり、ホモトピー類のリーマン計量の空間へのwell-definedな写像が得られることを示す。
• 楕円型偏微分方程式の正則性理論とHiggs bundle パrameter への解析的依存性を用いて、得られた写像の実解析的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面に与えられた複素構造の選択に関わらず、Hitchin表現に関連する等長的調和写像は常に埋め込みのままであるか？
• RQ2 調和写像の引き戻しを用いて、Hitchin表現の幾何を曲面上のリーマン計量に符号化できるか？
• RQ3 Hitchin表現による対称空間における軌道成長の漸近的挙動は何か？ そして、その下界は得られるか？
• RQ4 Hitchin表現から計量への写像は、マッピングクラス群の作用に関してどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意のHitchin表現に関連する等長的調和写像は埋め込みであり、微分が至る所で単射である。
• 調和写像を介して対称空間計量を引き戻すと、曲面 Σ 上にwell-definedなリーマン計量が得られ、ホモトピー類の意味で一意である。
• この構成により、（共役を除いて）Hitchin表現の空間から曲面 Σ のホモトピー類のリーマン計量の空間への写像が定義され、マッピングクラス群作用に関して不変である。
• この写像は、調和写像がHiggs bundleパrameterに解析的に依存することと、楕円型正則性から生じる実解析的性質により、実解析的であることが示された。
• 引き戻し計量の幾何から、Hitchin表現による G/K 上の軌道の指数的成長率の新たな下界が得られた。
• 一般にはこの構成は単射ではない。Higgs場を回転させた関連する調和写像族は、同じ計量を引き戻す。