[論文レビュー] Hitchin's equations on a nonorientable manifold

Nan-Kuo Ho, Graeme Wilkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、被覆写像を用いて非可換多様体へのヒンチン方程式およびモジュライ空間理論を拡張する。非可換多様体上のヒンチンのモジュライ空間と、デッキ変換によって誘導される対合の下でのハイパーカラーモジュライ空間の固定点集合との間に、シンプレクティック構造やハイパーカラーレンジア構造を保つホメオモルフィズムを確立する。

ABSTRACT

We define Hitchin's moduli space for a principal bundle $P$, whose structure group is a compact semisimple Lie group $K$, over a compact non-orientable Riemannian manifold $M$. We use the Donaldson-Corlette correspondence, which identifies Hitchin's moduli space with the moduli space of flat $K^\mathbb{C}$-connections, which remains valid when M is non-orientable. This enables us to study Hitchin's moduli space both by gauge theoretical methods and algebraically by using representation varieties. If the orientable double cover $ ilde{M}$ of $M$ is a Kähler manifold with odd complex dimension and if the Kähler form is odd under the non-trivial deck transformation on $ ilde{M}$, Hitchin's moduli space of the pull-back bundle $ ilde{P}$ over $ ilde{M}$ has a hyper-Kähler structure and admits an involution induced by the deck transformation. The fixed-point set is symplectic or Lagrangian with respect to various symplectic structures on Hitchin's moduli space over $ ilde{M}$. We show that there is a local diffeomorphism from Hitchin's moduli space over (the nonorientable manifold) $M$ to the fixed point set of the Hitchin's moduli space over (its orientable double cover) $ ilde{M}$. We compare the gauge theoretical constructions with the algebraic approach using representation varieties.

研究の動機と目的

• コンパクトな非可換リーマン多様体上の主バンドルに対してヒンチンのモジュライ空間を定義し、研究すること。
• ドナルドソン＝コールェット対応を非可換設定へ拡張し、ヒンチンのモジュライ空間が平坦な複素接続のド・ラームモジュライ空間とホメオモルフィックであることを示すこと。
• 可換二重被覆上のモジュライ空間のハイパーカラーレンジア幾何を解析し、デッキ変換の下での固定点集合を考察すること。
• ゲージ理論的構成と表現多様体を用いた代数的アプローチを比較すること。
• 非可換多様体上での $ PG $-バンドルから $ G $-バンドルへの上昇のための位相的障害（$ Z(G)/2Z(G) $ の元を介して）を同定すること。

提案手法

• コンパクトな非可換多様体 $ M $ 上の主 $ K $-バンドル $ P \to M $ に対して、ヒンチン方程式の解をゲージ変換で割ったものとして、ヒンチンのモジュライ空間 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ を定義する。
• ドナルドソン＝コールェット対応を用いて、$ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ とド・ラームモジュライ空間 $ \mathcal{M}^{\mathrm{dR}}(P^{\mathbb{C}}) $ の間にホメオモルフィズムを確立する。これは $ M $ が非可換であっても成立する。
• バンドル $ P \to M $ をその可換二重被覆 $ \tilde{M} $ に上昇させ、$ \tilde{P} \to \tilde{M} $ を得る。$ \tilde{M} $ が奇数次元の複素構造を持つケーラー多様体であるとき、$ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ はハイパーカラーレンジア構造を引き継ぐ。
• $ \tilde{M} $ 上に対合 $ \tau $ を導入し、$ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 上への作用を誘導する。固定点集合 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ は、ハイパーカラーレンジアのケーラー形式に関してシンプレクティックまたはラグランジュ的であることを解析する。
• $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ から $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ への局所微分同相写像を構成し、非可換多様体と二重被覆のモジュライ空間を幾何的に結びつける。
• 表現多様体とモノドロミー表現を用いて平坦接続を特徴付け、$ M $ 上の $ PG $-バンドルから $ G $-バンドルへの上昇の障害を $ Z(G)/2Z(G) $ の元として同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒンチン方程式およびそのモジュライ空間は、非可換多様体上に意味的に定義可能か？
• RQ2 ベース多様体が非可換である場合でも、ヒンチンのモジュライ空間と平坦接続のド・ラームモジュライ空間との間のドナルドソン＝コールェット対応は成立するか？
• RQ3 可換二重被覆上のモジュライ空間が引き継ぐ幾何的構造（例：ハイパーカラーレンジア、シンプレクティック）は何か？また、デッキ変換の下でどのように振る舞うか？
• RQ4 非可換多様体上のモジュライ空間は、その二重被覆上のモジュライ空間の固定点集合とどのように関係するか？
• RQ5 非可換多様体上での $ PG $-バンドルから $ G $-バンドルへの上昇を試みる際に、どのような位相的障害が生じるか？

主な発見

• コンパクトな非可換リーマン多様体上の主 $ K $-バンドルに対して、ヒンチンのモジュライ空間 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ は、ゲージ変換で割ったヒンチン方程式の解として適切に定義される。
• ドナルドソン＝コールェット対応は非可換多様体に対しても成立し、$ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ とド・ラームモジュライ空間 $ \mathcal{M}^{\mathrm{dR}}(P^{\mathbb{C}}) $ の間にホメオモルフィズムを確立する。
• 可換二重被覆 $ \tilde{M} $ が奇数次元の複素ケーラー多様体であり、ケーラー形式がデッキ変換 $ \tau $ に関して奇数性を示すとき、モジュライ空間 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ はハイパーカラーレンジア構造を有する。
• $ \tilde{M} $ 上の対合 $ \tau $ は $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 上への作用に上昇し、固定点集合 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ はハイパーカラーレンジアのケーラー形式に関してシンプレクティックまたはラグランジュ的である。
• 非可換多様体のモジュライ空間 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ から二重被覆上の固定点集合 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ への局所微分同相写像が存在し、非可換多様体と二重被覆のモジュライ空間の間の直接的な幾何的関係を確立する。
• 非可換曲面 $ M = \varSigma $ に対して、$ PG $-バンドルから $ G $-バンドルへの上昇の障害は、$ Z(G)/2Z(G) $ の元によって分類され、これは二重被覆上の $ G $-バンドルのモノドロミーに由来する。