[論文レビュー] Hitchin systems, higher Gaudin operators and $r$-matrices

Benjamin Enriquez, V. Rubtsov|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、特異点をもつ曲線、特に $\mathbb{C}P^1$ および $GL_n$-バンドルを備えた楕円曲線に対するヒチンの可積分系を拡張する。臨界レベルにおけるアフィンカツ・ムーディ代数の中心的要素を用いて、高次ガウディン作用素の明示的公式を導出し、楕円曲線の場合の動的 $r$-行列を構成し、$GL_2$ の量子ハミルトニアンを導出する。主な貢献は、表現論とスペクトル曲線を介して、ヒチン系、ガウディン模型、動的 $r$-行列を統一的に結びつける枠組みを確立することである。

ABSTRACT

We adapt Hitchin's integrable systems to the case of a punctured curve. In the case of $\CC P^{1}$ and $SL_{n}$-bundles, they are equivalent to systems studied by Garnier. The corresponding quantum systems were identified by B. Feigin, E. Frenkel and N. Reshetikhin with Gaudin systems. We give a formula for the higher Gaudin operators, using results of R. Goodman and N. Wallach on the center of the enveloping algebras of affine algebras at the critical level. Finally we construct a dynamical $r$-matrix for Hitchin systems for a punctured elliptic curve, and $GL_{n}$-bundles, and (for $n=2$) the corresponding quantum system.

研究の動機と目的

• 複素曲線にマークドポイント（特異点）をもつ場合に、ヒチンの可積分系を一般化し、古典的および量子的構造を拡張すること。
• 臨界レベルにおけるアフィンリ代数の普遍包あらゆる代数の中心的要素を用いて、高次ガウディンハミルトニアンを表現すること。
• 特に $n=2$ の場合に、$GL_n$-バンドルをもつ特異点をもつ楕円曲線におけるヒチン系に対して、動的 $r$-行列を構成すること。
• $GL_2$ の場合に、楕円曲線上の量子ハミルトニアンを同定し、それらがカルオジェロ＝モーザー型系とどのように関係するかを示すこと。
• $r$-行列形式を用いて、特異点をもつ楕円曲線上のヒチン系と既知の可積分モデルとの間の対応関係を確立すること。

提案手法

• マークドポイントにおける $B$-構造のデータを組み込むことで、ヒチンの構成を特異点をもつ曲線に適応し、パラボリック構造をもつ $G$-バンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}_G(X)$ を定義する。
• アドラー＝コスタンツ＝サイムスの枠組みを用いて、ヒチン写像 $H: T^*\mathcal{M}_G(X) \to \mathcal{H}_X$ から可換なハミルトニアンを生成し、ヘッジフィールドの特徴多項式によって定義されるスペクトル曲線を導出する。
• 臨界レベルにおけるアフィンカツ・ムーディ代数の中心に関するグッドマンとウォーラックの結果を適用し、$L$-作用素のべきのトレースとして高次ガウディン作用素を表現する。
• 特異点をもつ楕円曲線上の $GL_n$-バンドルに対して、モジュライパrameterに依存し、カルタン代数の不変性に由来する項を含む動的 $r$-行列を構成する。
• $L$-作用素と $r$-行列構造を用いて、微分作用素のねじれ空間への普遍包あらゆる代数の中心の作用を通じて、量子ハミルトニアンを導出する。
• 量子作用素のシンボルがヒチンの古典的ハミルトニアンと一致することを検証し、1つの特異点をもつ場合の $GL_2$ の明示的形を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界レベルにおけるアフィンリ代数の普遍包あらゆる代数の中心的要素を用いて、高次ガウディン作用素を体系的に表現する方法は何か？
• RQ2 特異点をもつ楕円曲線上のヒチン系に対して、$GL_n$-バンドルを用いた動的 $r$-行列形式を構築できるか？
• RQ3 特異点をもつ楕円曲線上の $GL_2$ の場合に、量子ハミルトニアンの明示的形は何か？ そして、既知の可積分系とどのように関係するか？
• RQ4 スペクトル曲線の構成は特異点をもつ曲線にどのように一般化されるか？ そして、可積分性において果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathbb{C}P^1$ 上の $SL_n$-バンドルにおいて、ヒチン系とガウディン系がどの程度一致するか？ また、これは高種数へとどのように拡張されるか？

主な発見

• 高次ガウディンハミルトニアンは、臨界レベルにおける包あらゆる代数の中心的要素を用いて、$\mathop{\rm tr}\nolimits L(z)^s$ の形で明示的に表現される。
• $GL_2$ の特異点をもつ楕円曲線上では、量子ハミルトニアン $\hat{H}_0$ と $\hat{H}_1$ が $t$-微分、$h^{(i)}$、$e^{(i)}$、$f^{(i)}$、およびテータ関数を用いて表現され、$\hat{H}_0$ にはヴァイエルシュトラウスの $\wp$-関数の項が含まれる。
• 特異点をもつ楕円曲線上の系は、モジュライパrameterに依存し、カルタン代数の不変性に由来する項を含む動的 $r$-行列をもつ。これは標準的な $r$-行列構造を一般化する。
• $\hat{H}_i$ および $\hat{H}_0$ は $S_2$-不変であり、$\mathbb{Z}^2$-作用に関して不変であり、ねじれモジュライ空間 $\mathcal{M}^{(0)}_{GL_2}(X)$ 上に正しく定義された作用素を定義する。
• 量子ハミルトニアンのシンボルは、古典的ヒチンハミルトニアンと一致し、古典的可積分系と整合していることが確認された。
• $N=1$ の場合、系は $\hat{H}_0 = \hat{p}^2 - 2e^{(1)}f^{(1)}\wp(\ln t^2)$ および $\hat{H}_1 = e^{(1)}f^{(1)}$ に簡略化され、楕円型カルオジェロ＝モーザー系と直接的な関係が示された。